Номер 9, страница 5, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

9. Найдите все такие натуральные числа n, при которых является натуральным числом выражение:

а) $ \frac{3n + 7}{n} $;

б) $ \frac{3n + 14}{n + 2} $;

в) $ \frac{7n + 27}{n} $;

г) $ \frac{8n + 77}{2n + 1} $.

а) Чтобы выражение $\frac{3n + 7}{n}$ было натуральным числом, необходимо, чтобы $n$ было натуральным числом. Преобразуем данное выражение, разделив числитель на знаменатель почленно: $ \frac{3n + 7}{n} = \frac{3n}{n} + \frac{7}{n} = 3 + \frac{7}{n} $
Для того чтобы значение этого выражения было натуральным числом, необходимо, чтобы слагаемое $\frac{7}{n}$ было целым числом, и вся сумма была больше 0. Поскольку $n$ — натуральное число, то $n > 0$, и, следовательно, $\frac{7}{n} > 0$. Значит, вся сумма $3 + \frac{7}{n}$ будет натуральным числом, если $\frac{7}{n}$ — натуральное число. Это возможно только в том случае, если $n$ является натуральным делителем числа 7. Натуральные делители числа 7 — это 1 и 7.
Проверим оба значения:

• Если $n = 1$, то выражение равно $3 + \frac{7}{1} = 3 + 7 = 10$, что является натуральным числом.
• Если $n = 7$, то выражение равно $3 + \frac{7}{7} = 3 + 1 = 4$, что является натуральным числом.

Ответ: 1, 7.

б) Чтобы выражение $\frac{3n + 14}{n + 2}$ было натуральным числом, преобразуем его, выделив целую часть. Для этого в числителе представим $3n$ как $3(n+2) - 6$: $ \frac{3n + 14}{n + 2} = \frac{3(n + 2) - 6 + 14}{n + 2} = \frac{3(n + 2) + 8}{n + 2} = \frac{3(n + 2)}{n + 2} + \frac{8}{n + 2} = 3 + \frac{8}{n + 2} $
Для того чтобы значение этого выражения было натуральным числом, необходимо, чтобы дробь $\frac{8}{n + 2}$ была натуральным числом (так как $3$ уже натуральное). Это означает, что знаменатель $n + 2$ должен быть натуральным делителем числа 8. Натуральные делители числа 8: 1, 2, 4, 8. Поскольку $n$ — натуральное число, то $n \ge 1$, следовательно $n + 2 \ge 1 + 2 = 3$.
Из делителей числа 8 выбираем те, которые больше или равны 3. Это 4 и 8. Рассмотрим два случая:

• $n + 2 = 4 \implies n = 2$. При $n=2$ выражение равно $3 + \frac{8}{2+2} = 3 + \frac{8}{4} = 3 + 2 = 5$.
• $n + 2 = 8 \implies n = 6$. При $n=6$ выражение равно $3 + \frac{8}{6+2} = 3 + \frac{8}{8} = 3 + 1 = 4$.

Оба значения $n$ подходят.
Ответ: 2, 6.

в) Преобразуем выражение $\frac{7n + 27}{n}$, разделив числитель на знаменатель почленно: $ \frac{7n + 27}{n} = \frac{7n}{n} + \frac{27}{n} = 7 + \frac{27}{n} $
Чтобы это выражение было натуральным числом, слагаемое $\frac{27}{n}$ должно быть натуральным числом. Это означает, что $n$ должно быть натуральным делителем числа 27. Натуральные делители числа 27: 1, 3, 9, 27.
Проверим все эти значения:

• $n = 1: 7 + \frac{27}{1} = 34$
• $n = 3: 7 + \frac{27}{3} = 7 + 9 = 16$
• $n = 9: 7 + \frac{27}{9} = 7 + 3 = 10$
• $n = 27: 7 + \frac{27}{27} = 7 + 1 = 8$

Все полученные значения являются натуральными числами.
Ответ: 1, 3, 9, 27.

г) Преобразуем выражение $\frac{8n + 77}{2n + 1}$, выделив целую часть. Для этого в числителе представим $8n$ как $4(2n+1) - 4$: $ \frac{8n + 77}{2n + 1} = \frac{4(2n + 1) - 4 + 77}{2n + 1} = \frac{4(2n + 1) + 73}{2n + 1} = \frac{4(2n + 1)}{2n + 1} + \frac{73}{2n + 1} = 4 + \frac{73}{2n + 1} $
Чтобы это выражение было натуральным числом, дробь $\frac{73}{2n + 1}$ должна быть натуральным числом. Это означает, что знаменатель $2n + 1$ должен быть натуральным делителем числа 73. Число 73 является простым, поэтому его натуральные делители — это 1 и 73.
Рассмотрим два случая:

• $2n + 1 = 1 \implies 2n = 0 \implies n = 0$. Но $n$ должно быть натуральным числом, поэтому этот случай не подходит.
• $2n + 1 = 73 \implies 2n = 72 \implies n = 36$. Это натуральное число.

Проверим значение $n=36$: $4 + \frac{73}{2(36) + 1} = 4 + \frac{73}{73} = 4 + 1 = 5$.
Ответ: 36.