Номер 16, страница 5, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

Повторение курса алгебры основной школы. Часть 2 - номер 16, страница 5.

Условие.

16. В числе $7345\square$ заполните пропуск такой цифрой, чтобы число:

а) при делении на 9 давало в остатке 2;

б) при делении на 5 давало в остатке 3;

в) при делении на 25 давало в остатке 7;

г) при делении на 11 давало в остатке 10.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Обозначим пропущенную цифру через $x$. Тогда искомое число имеет вид $7345x$, что равно $73450 + x$. Будем решать каждый пункт отдельно.

а) при делении на 9 давало в остатке 2;

По условию, число $7345x$ при делении на 9 дает в остатке 2. Используя язык сравнений по модулю, это можно записать как $7345x \equiv 2 \pmod{9}$.

Воспользуемся признаком делимости на 9: число сравнимо с суммой своих цифр по модулю 9. Сумма цифр нашего числа равна $S = 7 + 3 + 4 + 5 + x = 19 + x$.

Таким образом, наше условие сводится к сравнению $19 + x \equiv 2 \pmod{9}$. Так как $19 = 2 \cdot 9 + 1$, то $19 \equiv 1 \pmod{9}$. Сравнение принимает вид $1 + x \equiv 2 \pmod{9}$.

Вычитая 1 из обеих частей, получаем $x \equiv 1 \pmod{9}$. Поскольку $x$ — это цифра (от 0 до 9), единственным решением является $x=1$.

Проверка: число 73451. Сумма цифр $7+3+4+5+1=20$. При делении 20 на 9 получаем частное 2 и остаток 2. Условие выполнено.

Ответ: 1

б) при делении на 5 давало в остатке 3;

Условие гласит, что число $7345x$ при делении на 5 дает в остатке 3, то есть $7345x \equiv 3 \pmod{5}$.

Остаток от деления числа на 5 зависит только от его последней цифры. Следовательно, условие сводится к сравнению для последней цифры $x$: $x \equiv 3 \pmod{5}$.

Поскольку $x$ — это цифра (от 0 до 9), этому условию удовлетворяют два значения: $x=3$ и $x=8$.

Проверка: если $x=3$, число 73453. Последняя цифра 3, остаток от деления на 5 равен 3. Если $x=8$, число 73458. Последняя цифра 8, $8 = 1 \cdot 5 + 3$, остаток от деления на 5 также равен 3. Оба варианта подходят.

Ответ: 3 или 8

в) при делении на 25 давало в остатке 7;

По условию, число $7345x$ при делении на 25 дает в остатке 7. Это означает $7345x \equiv 7 \pmod{25}$.

Остаток от деления числа на 25 определяется числом, образованным двумя его последними цифрами. В нашем случае это число $5x$, которое равно $50+x$.

Таким образом, условие сводится к сравнению $50 + x \equiv 7 \pmod{25}$.

Так как $50$ делится на 25 без остатка ($50 = 2 \cdot 25$), то $50 \equiv 0 \pmod{25}$. Сравнение упрощается до $x \equiv 7 \pmod{25}$.

Поскольку $x$ — это цифра (от 0 до 9), единственным решением является $x=7$.

Проверка: число 73457. Две последние цифры образуют число 57. $57 = 2 \cdot 25 + 7$. Остаток равен 7. Условие выполнено.

Ответ: 7

г) при делении на 11 давало в остатке 10.

Условие гласит, что число $7345x$ при делении на 11 дает в остатке 10. Это можно записать как $7345x \equiv 10 \pmod{11}$.

Воспользуемся признаком делимости на 11: число сравнимо по модулю 11 со знакопеременной суммой своих цифр (начиная с последней). Для числа $7345x$ эта сумма равна $S_{alt} = x - 5 + 4 - 3 + 7 = x + 3$.

Следовательно, условие сводится к сравнению $x + 3 \equiv 10 \pmod{11}$.

Вычитая 3 из обеих частей, получаем $x \equiv 7 \pmod{11}$.

Поскольку $x$ — это цифра (от 0 до 9), единственным решением является $x=7$.

Проверка: число 73457. Разделим его на 11: $73457 = 11 \cdot 6677 + 10$. Остаток равен 10. Условие выполнено.

Ответ: 7