Номер 14, страница 5, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

14. В числе $23\square47$ заполните пропуск такой цифрой, чтобы число:

а) делилось на 3;

б) делилось на 9.

Для решения этой задачи воспользуемся признаками делимости на 3 и на 9. Оба признака основаны на сумме цифр числа. Пусть пропущенная цифра в числе 23?47 будет $x$.

а) делилось на 3;

Число делится на 3 без остатка, если сумма его цифр делится на 3. Найдем сумму известных цифр в заданном числе:

$2 + 3 + 4 + 7 = 16$

Полная сумма цифр числа, включая неизвестную цифру $x$, равна $16 + x$. Эта сумма должна быть кратна 3. Нам нужно найти все такие цифры $x$ (от 0 до 9), для которых $16 + x$ делится на 3.

Рассмотрим возможные значения $x$:

Если $x = 2$, то сумма цифр $16 + 2 = 18$. Число 18 делится на 3 ($18 \div 3 = 6$), значит, цифра 2 подходит. Получаем число 23247.

Если $x = 5$, то сумма цифр $16 + 5 = 21$. Число 21 делится на 3 ($21 \div 3 = 7$), значит, цифра 5 подходит. Получаем число 23547.

Если $x = 8$, то сумма цифр $16 + 8 = 24$. Число 24 делится на 3 ($24 \div 3 = 8$), значит, цифра 8 подходит. Получаем число 23847.

Другие цифры не подходят, так как сумма не будет кратна 3. Например, при $x=9$ сумма равна 25, а следующее подходящее значение суммы (27) требует, чтобы $x$ было равно 11, что не является цифрой.

Ответ: 2, 5 или 8.

б) делилось на 9.

Число делится на 9 без остатка, если сумма его цифр делится на 9. Как и в предыдущем пункте, сумма цифр числа равна $16 + x$.

Эта сумма должна быть кратна 9. Нам нужно найти такую цифру $x$ (от 0 до 9), для которой $16 + x$ делится на 9.

Найдем ближайшее к 16 число, которое делится на 9. Это число 18.

Приравняем сумму цифр к 18:

$16 + x = 18$

$x = 18 - 16$

$x = 2$

Цифра 2 подходит. Следующее число, кратное 9, это 27. Для него $16 + x = 27$ дает $x = 11$, что не является цифрой. Таким образом, есть только одно решение.

Ответ: 2.