Номер 6, страница 4, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

Докажите, что:

6. a) $23^6 + 23^7$ кратно 24;

б) $10^5 + 5^7$ делится на 19;

в) $37^8 - 37^7$ кратно 18;

г) $72^2 + 6^5$ делится на 30.

а) Чтобы доказать, что выражение $23^6 + 23^7$ кратно 24, вынесем общий множитель $23^6$ за скобки:

$23^6 + 23^7 = 23^6 \cdot (1 + 23)$

Выполним сложение в скобках:

$1 + 23 = 24$

Таким образом, исходное выражение можно представить в виде произведения:

$23^6 \cdot 24$

Поскольку один из множителей в этом произведении равен 24, всё выражение делится на 24 без остатка, то есть кратно 24.

Ответ: Доказано, что $23^6 + 23^7$ кратно 24.

б) Чтобы доказать, что выражение $10^5 + 5^7$ делится на 19, преобразуем его. Представим $10$ как $2 \cdot 5$:

$10^5 + 5^7 = (2 \cdot 5)^5 + 5^7 = 2^5 \cdot 5^5 + 5^7$

Теперь вынесем общий множитель $5^5$ за скобки:

$5^5 \cdot (2^5 + 5^2)$

Вычислим значения в скобках:

$2^5 = 32$

$5^2 = 25$

Сложим полученные значения:

$32 + 25 = 57$

Исходное выражение равно:

$5^5 \cdot 57$

Заметим, что число 57 делится на 19, так как $57 = 3 \cdot 19$. Следовательно, выражение можно записать как:

$5^5 \cdot (3 \cdot 19)$

Так как в произведении есть множитель 19, всё выражение делится на 19.

Ответ: Доказано, что $10^5 + 5^7$ делится на 19.

в) Для доказательства того, что $37^8 - 37^7$ кратно 18, вынесем за скобки общий множитель $37^7$:

$37^8 - 37^7 = 37^7 \cdot (37 - 1)$

Выполним вычитание в скобках:

$37 - 1 = 36$

Получаем выражение:

$37^7 \cdot 36$

Нам нужно доказать кратность 18. Число 36 можно представить как $2 \cdot 18$. Тогда выражение примет вид:

$37^7 \cdot (2 \cdot 18)$

Поскольку один из множителей равен 18, всё произведение делится на 18.

Ответ: Доказано, что $37^8 - 37^7$ кратно 18.

г) Чтобы доказать, что $72^2 + 6^5$ делится на 30, преобразуем слагаемые. Заметим, что $72 = 12 \cdot 6$.

$72^2 + 6^5 = (12 \cdot 6)^2 + 6^5 = 12^2 \cdot 6^2 + 6^5 = 144 \cdot 6^2 + 6^5$

Вынесем за скобки наименьшую степень общего множителя, то есть $6^2$:

$6^2 \cdot (144 + 6^3)$

Вычислим выражение в скобках:

$6^3 = 216$

$144 + 216 = 360$

Таким образом, исходное выражение равно:

$6^2 \cdot 360 = 36 \cdot 360$

Чтобы доказать делимость на 30, представим 360 как произведение с множителем 30: $360 = 12 \cdot 30$.

Тогда выражение можно записать в виде:

$36 \cdot (12 \cdot 30)$

Это произведение очевидно делится на 30, так как содержит множитель 30.

Ответ: Доказано, что $72^2 + 6^5$ делится на 30.