Номер 1, страница 4, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

1. Дано числовое множество

$A = \left\{-2\frac{2}{3}; -2; -\sqrt{3}; -0,2(3); 0; 0,23; 1; \frac{\sqrt{2}}{2}; \pi; 4\right\}.$

Составьте множество:

а) $A \cap N;$

б) $A \cap Q;$

в) $A \cap Z;$

г) $A \cap I,$

где $N, Z, Q, I$ – соответственно множества натуральных чисел, целых чисел, рациональных чисел, иррациональных чисел.

Для решения задачи необходимо классифицировать каждый элемент данного множества $A = \{-2\frac{2}{3}; -2; -\sqrt{3}; -0,2(3); 0; 0,23; 1; \frac{\sqrt{2}}{2}; \pi; 4\}$ и определить его принадлежность к множествам натуральных ($N$), целых ($Z$), рациональных ($Q$) и иррациональных ($I$) чисел.

Проанализируем каждый элемент множества $A$:

• $-2\frac{2}{3}$: смешанная дробь, равная $-\frac{8}{3}$. Это рациональное число ($Q$).
• $-2$: целое число ($Z$), а значит и рациональное ($Q$).
• $-\sqrt{3}$: иррациональное число ($I$), так как корень из 3 не извлекается нацело.
• $-0,2(3)$: периодическая десятичная дробь. Любая периодическая дробь является рациональным числом. Ее можно представить в виде дроби: $-0,2(3) = -\frac{23-2}{90} = -\frac{21}{90} = -\frac{7}{30}$. Следовательно, это рациональное число ($Q$).
• $0$: целое число ($Z$), а также рациональное ($Q$).
• $0,23$: конечная десятичная дробь, равная $\frac{23}{100}$. Это рациональное число ($Q$).
• $1$: натуральное число ($N$), а также целое ($Z$) и рациональное ($Q$).
• $\frac{\sqrt{2}}{2}$: иррациональное число ($I$), так как содержит иррациональное число $\sqrt{2}$.
• $\pi$: трансцендентное число, которое является иррациональным ($I$).
• $4$: натуральное число ($N$), а также целое ($Z$) и рациональное ($Q$).

Теперь найдем пересечения множеств, то есть общие элементы для множества $A$ и каждого из указанных множеств.

а) A ? N

Пересечение множества $A$ с множеством натуральных чисел $N$ (целые положительные числа). Из множества $A$ натуральными являются числа $1$ и $4$.

Ответ: $A \cap N = \{1; 4\}$.

б) A ? Q

Пересечение множества $A$ с множеством рациональных чисел $Q$ (числа, представимые в виде дроби). К ним относятся целые числа, конечные и периодические дроби. Из множества $A$ это числа: $-2\frac{2}{3}, -2, -0,2(3), 0, 0,23, 1, 4$.

Ответ: $A \cap Q = \{-2\frac{2}{3}; -2; -0,2(3); 0; 0,23; 1; 4\}$.

в) A ? Z

Пересечение множества $A$ с множеством целых чисел $Z$ (натуральные числа, им противоположные и ноль). Из множества $A$ целыми являются числа: $-2, 0, 1, 4$.

Ответ: $A \cap Z = \{-2; 0; 1; 4\}$.

г) A ? I

Пересечение множества $A$ с множеством иррациональных чисел $I$ (числа, которые не являются рациональными). Из множества $A$ это числа: $-\sqrt{3}, \frac{\sqrt{2}}{2}, \pi$.

Ответ: $A \cap I = \{-\sqrt{3}; \frac{\sqrt{2}}{2}; \pi\}$.