Страница 4, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

1. Дано числовое множество

$A = \left\{-2\frac{2}{3}; -2; -\sqrt{3}; -0,2(3); 0; 0,23; 1; \frac{\sqrt{2}}{2}; \pi; 4\right\}.$

Составьте множество:

а) $A \cap N;$

б) $A \cap Q;$

в) $A \cap Z;$

г) $A \cap I,$

где $N, Z, Q, I$ – соответственно множества натуральных чисел, целых чисел, рациональных чисел, иррациональных чисел.

Для решения задачи необходимо классифицировать каждый элемент данного множества $A = \{-2\frac{2}{3}; -2; -\sqrt{3}; -0,2(3); 0; 0,23; 1; \frac{\sqrt{2}}{2}; \pi; 4\}$ и определить его принадлежность к множествам натуральных ($N$), целых ($Z$), рациональных ($Q$) и иррациональных ($I$) чисел.

Проанализируем каждый элемент множества $A$:

• $-2\frac{2}{3}$: смешанная дробь, равная $-\frac{8}{3}$. Это рациональное число ($Q$).
• $-2$: целое число ($Z$), а значит и рациональное ($Q$).
• $-\sqrt{3}$: иррациональное число ($I$), так как корень из 3 не извлекается нацело.
• $-0,2(3)$: периодическая десятичная дробь. Любая периодическая дробь является рациональным числом. Ее можно представить в виде дроби: $-0,2(3) = -\frac{23-2}{90} = -\frac{21}{90} = -\frac{7}{30}$. Следовательно, это рациональное число ($Q$).
• $0$: целое число ($Z$), а также рациональное ($Q$).
• $0,23$: конечная десятичная дробь, равная $\frac{23}{100}$. Это рациональное число ($Q$).
• $1$: натуральное число ($N$), а также целое ($Z$) и рациональное ($Q$).
• $\frac{\sqrt{2}}{2}$: иррациональное число ($I$), так как содержит иррациональное число $\sqrt{2}$.
• $\pi$: трансцендентное число, которое является иррациональным ($I$).
• $4$: натуральное число ($N$), а также целое ($Z$) и рациональное ($Q$).

Теперь найдем пересечения множеств, то есть общие элементы для множества $A$ и каждого из указанных множеств.

а) A ? N

Пересечение множества $A$ с множеством натуральных чисел $N$ (целые положительные числа). Из множества $A$ натуральными являются числа $1$ и $4$.

Ответ: $A \cap N = \{1; 4\}$.

б) A ? Q

Пересечение множества $A$ с множеством рациональных чисел $Q$ (числа, представимые в виде дроби). К ним относятся целые числа, конечные и периодические дроби. Из множества $A$ это числа: $-2\frac{2}{3}, -2, -0,2(3), 0, 0,23, 1, 4$.

Ответ: $A \cap Q = \{-2\frac{2}{3}; -2; -0,2(3); 0; 0,23; 1; 4\}$.

в) A ? Z

Пересечение множества $A$ с множеством целых чисел $Z$ (натуральные числа, им противоположные и ноль). Из множества $A$ целыми являются числа: $-2, 0, 1, 4$.

Ответ: $A \cap Z = \{-2; 0; 1; 4\}$.

г) A ? I

Пересечение множества $A$ с множеством иррациональных чисел $I$ (числа, которые не являются рациональными). Из множества $A$ это числа: $-\sqrt{3}, \frac{\sqrt{2}}{2}, \pi$.

Ответ: $A \cap I = \{-\sqrt{3}; \frac{\sqrt{2}}{2}; \pi\}$.

2. Укажите неверное утверждение:

а) Множество целых чисел является подмножеством множества действительных чисел.

б) Объединение множеств рациональных и иррациональных чисел равно множеству действительных чисел.

в) Множество целых чисел включается в множество натуральных чисел.

г) Множество рациональных чисел включает в себя множество натуральных чисел.

Проанализируем каждое утверждение, чтобы найти неверное.

а) Множество целых чисел является подмножеством множества действительных чисел.
Множество целых чисел, обозначаемое как $Z$, включает в себя все натуральные числа, им противоположные и ноль: $Z = \{..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...\}$.
Множество действительных чисел, обозначаемое как $R$, включает в себя все рациональные и иррациональные числа. Любое целое число является действительным числом. Следовательно, множество целых чисел является подмножеством (частью) множества действительных чисел. Математически это записывается как $Z \subset R$. Утверждение верно.
Ответ: Верно.

б) Объединение множеств рациональных и иррациональных чисел равно множеству действительных чисел.
Множество рациональных чисел ($Q$) — это числа, которые можно представить в виде дроби $m/n$, где $m$ — целое, а $n$ — натуральное. Множество иррациональных чисел ($I$) — это числа, которые нельзя представить в таком виде (например, $\pi$, $\sqrt{2}$).
По определению, множество действительных чисел ($R$) состоит из всех рациональных и всех иррациональных чисел. Их объединение и составляет всё множество действительных чисел. Математически это записывается как $Q \cup I = R$. Утверждение верно.
Ответ: Верно.

в) Множество целых чисел включается в множество натуральных чисел.
Множество натуральных чисел, обозначаемое как $N$, используется для счета предметов: $N = \{1, 2, 3, ...\}$.
Множество целых чисел ($Z$) содержит не только натуральные числа, но также ноль и все отрицательные целые числа ($-1, -2, -3, ...$). Поскольку в множестве $Z$ есть элементы (например, 0 или -5), которых нет в множестве $N$, то множество $Z$ не может включаться в $N$. На самом деле, верно обратное: множество натуральных чисел является подмножеством множества целых ($N \subset Z$). Следовательно, данное утверждение неверно.
Ответ: Неверно.

г) Множество рациональных чисел включает в себя множество натуральных чисел.
Множество рациональных чисел ($Q$) — это все числа, которые можно представить в виде дроби. Любое натуральное число $n$ можно представить в виде дроби $n/1$. Например, $5 = 5/1$. Так как любое натуральное число можно записать в виде дроби, где числитель — целое число, а знаменатель — натуральное, то все натуральные числа являются рациональными. Таким образом, множество натуральных чисел является подмножеством множества рациональных чисел ($N \subset Q$). Утверждение верно.
Ответ: Верно.

Таким образом, единственное неверное утверждение — это утверждение в.

3. Из чисел 124, 345, 570, 288, 441 и 729 укажите числа, кратные:

a) $2$;

б) $3$;

в) $5$;

г) $10$.

а) 2;

Число кратно 2, если оно заканчивается на четную цифру (0, 2, 4, 6 или 8). Это называется признаком делимости на 2. Проанализируем данный ряд чисел: 124, 345, 570, 288, 441, 729.
- Число 124 заканчивается на 4 (четная), следовательно, оно кратно 2.
- Число 345 заканчивается на 5 (нечетная), следовательно, оно не кратно 2.
- Число 570 заканчивается на 0 (четная), следовательно, оно кратно 2.
- Число 288 заканчивается на 8 (четная), следовательно, оно кратно 2.
- Число 441 заканчивается на 1 (нечетная), следовательно, оно не кратно 2.
- Число 729 заканчивается на 9 (нечетная), следовательно, оно не кратно 2.

Ответ: 124, 570, 288.

б) 3;

Число кратно 3, если сумма его цифр делится на 3. Это называется признаком делимости на 3. Проверим сумму цифр для каждого числа.
- 124: сумма цифр $1 + 2 + 4 = 7$. 7 не делится на 3.
- 345: сумма цифр $3 + 4 + 5 = 12$. 12 делится на 3 ($12 : 3 = 4$). Число кратно 3.
- 570: сумма цифр $5 + 7 + 0 = 12$. 12 делится на 3 ($12 : 3 = 4$). Число кратно 3.
- 288: сумма цифр $2 + 8 + 8 = 18$. 18 делится на 3 ($18 : 3 = 6$). Число кратно 3.
- 441: сумма цифр $4 + 4 + 1 = 9$. 9 делится на 3 ($9 : 3 = 3$). Число кратно 3.
- 729: сумма цифр $7 + 2 + 9 = 18$. 18 делится на 3 ($18 : 3 = 6$). Число кратно 3.

Ответ: 345, 570, 288, 441, 729.

в) 5;

Число кратно 5, если оно заканчивается на 0 или 5. Это называется признаком делимости на 5. Проверим последнюю цифру каждого числа.
- 124: последняя цифра 4. Не кратно 5.
- 345: последняя цифра 5. Кратно 5.
- 570: последняя цифра 0. Кратно 5.
- 288: последняя цифра 8. Не кратно 5.
- 441: последняя цифра 1. Не кратно 5.
- 729: последняя цифра 9. Не кратно 5.

Ответ: 345, 570.

г) 10.

Число кратно 10, если оно заканчивается на 0. Это называется признаком делимости на 10. Проверим последнюю цифру каждого числа.
- 124: последняя цифра 4. Не кратно 10.
- 345: последняя цифра 5. Не кратно 10.
- 570: последняя цифра 0. Кратно 10.
- 288: последняя цифра 8. Не кратно 10.
- 441: последняя цифра 1. Не кратно 10.
- 729: последняя цифра 9. Не кратно 10.

Ответ: 570.

4. Назовите делители числа:

а) $24$;

б) $54$;

в) $75$;

г) $90$.

а) 24;

Делитель числа — это натуральное число, на которое исходное число делится без остатка. Чтобы найти все делители числа 24, будем последовательно проверять натуральные числа, начиная с 1, и находить парные им делители.

$24 \div 1 = 24$. Значит, 1 и 24 являются делителями.

$24 \div 2 = 12$. Значит, 2 и 12 являются делителями.

$24 \div 3 = 8$. Значит, 3 и 8 являются делителями.

$24 \div 4 = 6$. Значит, 4 и 6 являются делителями.

Число 24 не делится на 5 без остатка. Следующее число для проверки — 6, но оно уже найдено в паре с 4, значит, мы нашли все делители. Запишем их в порядке возрастания.

Ответ: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24.

б) 54;

Найдем все натуральные числа, на которые 54 делится без остатка. Для этого будем находить пары делителей.

$54 \div 1 = 54$. Делители: 1 и 54.

$54 \div 2 = 27$. Делители: 2 и 27.

$54 \div 3 = 18$. Делители: 3 и 18.

54 не делится на 4 и 5 без остатка.

$54 \div 6 = 9$. Делители: 6 и 9.

54 не делится на 7 и 8 без остатка. Следующий делитель — 9, который уже найден. Следовательно, все делители найдены. Запишем их в порядке возрастания.

Ответ: 1, 2, 3, 6, 9, 18, 27, 54.

в) 75;

Определим все делители числа 75, находя пары чисел, произведение которых равно 75.

$75 \div 1 = 75$. Делители: 1 и 75.

Число 75 нечетное, поэтому на 2 не делится. Сумма цифр $7+5=12$, делится на 3, значит и число делится на 3: $75 \div 3 = 25$. Делители: 3 и 25.

75 не делится на 4. Число оканчивается на 5, значит, делится на 5: $75 \div 5 = 15$. Делители: 5 и 15.

Дальнейшая проверка показывает, что 75 не делится на 6, 7, 8. Так как $8 \times 8 = 64$ и $9 \times 9 = 81$, мы проверили все возможные делители до квадратного корня из 75. Перечислим все найденные делители по порядку.

Ответ: 1, 3, 5, 15, 25, 75.

г) 90.

Для нахождения всех делителей числа 90 будем подбирать пары чисел, произведение которых равно 90.

$90 \div 1 = 90$. Делители: 1 и 90.

$90 \div 2 = 45$. Делители: 2 и 45.

$90 \div 3 = 30$. Делители: 3 и 30.

90 не делится на 4.

$90 \div 5 = 18$. Делители: 5 и 18.

$90 \div 6 = 15$. Делители: 6 и 15.

90 не делится на 7 и 8.

$90 \div 9 = 10$. Делители: 9 и 10.

Следующий делитель 10 уже найден, значит, поиск завершен. Запишем все делители в порядке возрастания.

Ответ: 1, 2, 3, 5, 6, 9, 10, 15, 18, 30, 45, 90.

5. a) Число $n$ кратно 3. Докажите, что число $4n$ кратно 12.

б) Число $m$ кратно 7. Докажите, что число $2m$ кратно 14.

а) По условию задачи, число n кратно 3. Это означает, что его можно представить в виде произведения числа 3 и некоторого целого числа k.
Запишем это в виде формулы: $n = 3k$, где k — целое число.
Теперь необходимо доказать, что число 4n кратно 12. Подставим выражение для n в 4n:
$4n = 4 \times (3k)$
Используя ассоциативное свойство умножения (сочетательный закон), мы можем перегруппировать множители:
$4n = (4 \times 3) \times k$
$4n = 12k$
Полученное выражение $12k$ показывает, что число 4n является произведением числа 12 и целого числа k. По определению, это означает, что число 4n кратно 12.
Ответ: утверждение доказано.

б) По условию задачи, число m кратно 7. Это означает, что его можно представить в виде произведения числа 7 и некоторого целого числа p.
Запишем это в виде формулы: $m = 7p$, где p — целое число.
Теперь необходимо доказать, что число 2m кратно 14. Подставим выражение для m в 2m:
$2m = 2 \times (7p)$
Используя ассоциативное свойство умножения, мы можем перегруппировать множители:
$2m = (2 \times 7) \times p$
$2m = 14p$
Полученное выражение $14p$ показывает, что число 2m является произведением числа 14 и целого числа p. По определению, это означает, что число 2m кратно 14.
Ответ: утверждение доказано.

Докажите, что:

6. a) $23^6 + 23^7$ кратно 24;

б) $10^5 + 5^7$ делится на 19;

в) $37^8 - 37^7$ кратно 18;

г) $72^2 + 6^5$ делится на 30.

а) Чтобы доказать, что выражение $23^6 + 23^7$ кратно 24, вынесем общий множитель $23^6$ за скобки:

$23^6 + 23^7 = 23^6 \cdot (1 + 23)$

Выполним сложение в скобках:

$1 + 23 = 24$

Таким образом, исходное выражение можно представить в виде произведения:

$23^6 \cdot 24$

Поскольку один из множителей в этом произведении равен 24, всё выражение делится на 24 без остатка, то есть кратно 24.

Ответ: Доказано, что $23^6 + 23^7$ кратно 24.

б) Чтобы доказать, что выражение $10^5 + 5^7$ делится на 19, преобразуем его. Представим $10$ как $2 \cdot 5$:

$10^5 + 5^7 = (2 \cdot 5)^5 + 5^7 = 2^5 \cdot 5^5 + 5^7$

Теперь вынесем общий множитель $5^5$ за скобки:

$5^5 \cdot (2^5 + 5^2)$

Вычислим значения в скобках:

$2^5 = 32$

$5^2 = 25$

Сложим полученные значения:

$32 + 25 = 57$

Исходное выражение равно:

$5^5 \cdot 57$

Заметим, что число 57 делится на 19, так как $57 = 3 \cdot 19$. Следовательно, выражение можно записать как:

$5^5 \cdot (3 \cdot 19)$

Так как в произведении есть множитель 19, всё выражение делится на 19.

Ответ: Доказано, что $10^5 + 5^7$ делится на 19.

в) Для доказательства того, что $37^8 - 37^7$ кратно 18, вынесем за скобки общий множитель $37^7$:

$37^8 - 37^7 = 37^7 \cdot (37 - 1)$

Выполним вычитание в скобках:

$37 - 1 = 36$

Получаем выражение:

$37^7 \cdot 36$

Нам нужно доказать кратность 18. Число 36 можно представить как $2 \cdot 18$. Тогда выражение примет вид:

$37^7 \cdot (2 \cdot 18)$

Поскольку один из множителей равен 18, всё произведение делится на 18.

Ответ: Доказано, что $37^8 - 37^7$ кратно 18.

г) Чтобы доказать, что $72^2 + 6^5$ делится на 30, преобразуем слагаемые. Заметим, что $72 = 12 \cdot 6$.

$72^2 + 6^5 = (12 \cdot 6)^2 + 6^5 = 12^2 \cdot 6^2 + 6^5 = 144 \cdot 6^2 + 6^5$

Вынесем за скобки наименьшую степень общего множителя, то есть $6^2$:

$6^2 \cdot (144 + 6^3)$

Вычислим выражение в скобках:

$6^3 = 216$

$144 + 216 = 360$

Таким образом, исходное выражение равно:

$6^2 \cdot 360 = 36 \cdot 360$

Чтобы доказать делимость на 30, представим 360 как произведение с множителем 30: $360 = 12 \cdot 30$.

Тогда выражение можно записать в виде:

$36 \cdot (12 \cdot 30)$

Это произведение очевидно делится на 30, так как содержит множитель 30.

Ответ: Доказано, что $72^2 + 6^5$ делится на 30.

7. a) $3456728496 : 4$;

б) $473928375 : 125$;

в) $26354981175 : 25$;

г) $1736907064 : 8$.

а) Для решения примера $3 \ 456 \ 728 \ 496 : 4$ можно выполнить деление столбиком, или воспользоваться тем, что деление на 4 эквивалентно двукратному делению на 2.
1. Выполним первое деление на 2: $3 \ 456 \ 728 \ 496 : 2 = 1 \ 728 \ 364 \ 248$.
2. Разделим полученный результат еще раз на 2: $1 \ 728 \ 364 \ 248 : 2 = 864 \ 182 \ 124$.
Ответ: 864 182 124

б) Для решения примера $473 \ 928 \ 375 : 125$ удобно использовать свойство, что $125 = \frac{1000}{8}$. Следовательно, деление на 125 можно заменить умножением на 8 с последующим делением на 1000.
1. Умножим исходное число на 8:
$473 \ 928 \ 375 \times 8 = 3 \ 791 \ 427 \ 000$.
2. Разделим результат на 1000 (для этого достаточно убрать три нуля в конце числа):
$3 \ 791 \ 427 \ 000 : 1000 = 3 \ 791 \ 427$.
Ответ: 3 791 427

в) Для решения примера $26 \ 354 \ 981 \ 175 : 25$ применим свойство, что $25 = \frac{100}{4}$. Таким образом, деление на 25 эквивалентно умножению на 4 и последующему делению на 100.
1. Умножим исходное число на 4:
$26 \ 354 \ 981 \ 175 \times 4 = 105 \ 419 \ 924 \ 700$.
2. Разделим результат на 100 (убираем два нуля в конце):
$105 \ 419 \ 924 \ 700 : 100 = 1 \ 054 \ 199 \ 247$.
Ответ: 1 054 199 247

г) Для решения примера $1 \ 736 \ 907 \ 064 : 8$ можно трижды разделить число на 2, так как $8 = 2 \times 2 \times 2$.
1. Первое деление: $1 \ 736 \ 907 \ 064 : 2 = 868 \ 453 \ 532$.
2. Второе деление: $868 \ 453 \ 532 : 2 = 434 \ 226 \ 766$.
3. Третье деление: $434 \ 226 \ 766 : 2 = 217 \ 113 \ 383$.
Ответ: 217 113 383

8. Найдите натуральное число $x$, про которое известно, что оно:

а) больше 5246, но меньше 5256 и при этом делится на 6;

б) больше 6864, но меньше 6872 и при этом делится на 9;

в) больше 9347, но меньше 9362 и при этом делится на 15;

г) больше 7572, но меньше 7590 и при этом делится на 18.

а) Требуется найти натуральное число $x$, такое что $5246 < x < 5256$ и $x$ делится на 6.

Число делится на 6, если оно одновременно делится на 2 (является четным) и на 3 (сумма его цифр делится на 3).

Сначала выберем из диапазона от 5247 до 5255 четные числа: 5248, 5250, 5252, 5254.

Теперь проверим для этих чисел признак делимости на 3, вычисляя сумму их цифр:

• Для числа 5248: сумма цифр $5+2+4+8=19$. 19 не делится на 3.

• Для числа 5250: сумма цифр $5+2+5+0=12$. 12 делится на 3, так как $12:3=4$.

• Для числа 5252: сумма цифр $5+2+5+2=14$. 14 не делится на 3.

• Для числа 5254: сумма цифр $5+2+5+4=16$. 16 не делится на 3.

Таким образом, единственное число, удовлетворяющее всем условиям, — это 5250.

Ответ: 5250

б) Требуется найти натуральное число $x$, такое что $6864 < x < 6872$ и $x$ делится на 9.

Число делится на 9, если сумма его цифр делится на 9.

Рассмотрим числа в указанном диапазоне: 6865, 6866, 6867, 6868, 6869, 6870, 6871.

Проверим для каждого из них сумму цифр:

• Для числа 6865: $6+8+6+5=25$. 25 не делится на 9.

• Для числа 6866: $6+8+6+6=26$. 26 не делится на 9.

• Для числа 6867: $6+8+6+7=27$. 27 делится на 9, так как $27:9=3$.

• Для числа 6868: $6+8+6+8=28$. 28 не делится на 9.

• Для числа 6869: $6+8+6+9=29$. 29 не делится на 9.

• Для числа 6870: $6+8+7+0=21$. 21 не делится на 9.

• Для числа 6871: $6+8+7+1=22$. 22 не делится на 9.

Таким образом, единственное подходящее число — это 6867.

Ответ: 6867

в) Требуется найти натуральное число $x$, такое что $9347 < x < 9362$ и $x$ делится на 15.

Число делится на 15, если оно одновременно делится на 5 (оканчивается на 0 или 5) и на 3 (сумма его цифр делится на 3).

Сначала выберем из диапазона от 9348 до 9361 числа, которые делятся на 5: 9350, 9355, 9360.

Теперь проверим для этих чисел признак делимости на 3:

• Для числа 9350: сумма цифр $9+3+5+0=17$. 17 не делится на 3.

• Для числа 9355: сумма цифр $9+3+5+5=22$. 22 не делится на 3.

• Для числа 9360: сумма цифр $9+3+6+0=18$. 18 делится на 3, так как $18:3=6$.

Таким образом, единственное подходящее число — это 9360.

Ответ: 9360

г) Требуется найти натуральное число $x$, такое что $7572 < x < 7590$ и $x$ делится на 18.

Число делится на 18, если оно одновременно делится на 2 (является четным) и на 9 (сумма его цифр делится на 9).

Сначала выберем из диапазона от 7573 до 7589 четные числа: 7574, 7576, 7578, 7580, 7582, 7584, 7586, 7588.

Теперь проверим для этих чисел признак делимости на 9:

• Для числа 7574: $7+5+7+4=23$. 23 не делится на 9.

• Для числа 7576: $7+5+7+6=25$. 25 не делится на 9.

• Для числа 7578: $7+5+7+8=27$. 27 делится на 9, так как $27:9=3$.

• Для числа 7580: $7+5+8+0=20$. 20 не делится на 9.

• Для числа 7582: $7+5+8+2=22$. 22 не делится на 9.

• Для числа 7584: $7+5+8+4=24$. 24 не делится на 9.

• Для числа 7586: $7+5+8+6=26$. 26 не делится на 9.

• Для числа 7588: $7+5+8+8=28$. 28 не делится на 9.

Таким образом, единственное подходящее число — это 7578.

Ответ: 7578