Страница 8, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

33. Упростите выражение:

a) $\left(\frac{b}{b-3} - \frac{b}{b+3} - \frac{b^2+9}{9-b^2}\right) \cdot \frac{(3-b)^2}{3b+b^2}$

б) $\frac{y^2+5y}{(y-5)^2} : \left(\frac{5}{y+5} + \frac{y^2+25}{y^2-25} - \frac{5}{5-y}\right)$

а)

Упростим выражение по действиям. Сначала выполним действия в скобках.

1. Преобразуем выражение в скобках. Общий знаменатель для дробей $ \frac{b}{b-3} $, $ \frac{b}{b+3} $ и $ \frac{b^2+9}{9-b^2} $ это $ (b-3)(b+3) $, так как $ 9-b^2 = -(b^2-9) = -(b-3)(b+3) $.

$ \frac{b}{b-3} - \frac{b}{b+3} - \frac{b^2+9}{9-b^2} = \frac{b}{b-3} - \frac{b}{b+3} + \frac{b^2+9}{b^2-9} = \frac{b}{b-3} - \frac{b}{b+3} + \frac{b^2+9}{(b-3)(b+3)} $

Приводим дроби к общему знаменателю:

$ \frac{b(b+3)}{(b-3)(b+3)} - \frac{b(b-3)}{(b-3)(b+3)} + \frac{b^2+9}{(b-3)(b+3)} = \frac{b(b+3) - b(b-3) + b^2+9}{(b-3)(b+3)} $

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые в числителе:

$ \frac{b^2+3b-b^2+3b+b^2+9}{(b-3)(b+3)} = \frac{b^2+6b+9}{(b-3)(b+3)} $

Числитель является формулой квадрата суммы: $ b^2+6b+9 = (b+3)^2 $.

$ \frac{(b+3)^2}{(b-3)(b+3)} = \frac{b+3}{b-3} $

2. Теперь упростим второй множитель $ \frac{(3-b)^2}{3b+b^2} $.

В числителе $ (3-b)^2 = (-(b-3))^2 = (b-3)^2 $. В знаменателе вынесем общий множитель $b$: $ 3b+b^2 = b(3+b) $.

Получаем: $ \frac{(b-3)^2}{b(b+3)} $.

3. Выполним умножение результатов шагов 1 и 2:

$ (\frac{b+3}{b-3}) \cdot \frac{(b-3)^2}{b(b+3)} = \frac{(b+3)(b-3)^2}{(b-3)b(b+3)} $

Сокращаем общие множители $ (b+3) $ и $ (b-3) $:

$ \frac{b-3}{b} $

Ответ: $ \frac{b-3}{b} $

б)

Упростим выражение по действиям. Сначала выполним действия в скобках.

1. Преобразуем выражение в скобках. Общий знаменатель для дробей $ \frac{5}{y+5} $, $ \frac{y^2+25}{y^2-25} $ и $ \frac{5}{5-y} $ это $ (y-5)(y+5) $, так как $ y^2-25=(y-5)(y+5) $ и $ 5-y=-(y-5) $.

$ \frac{5}{y+5} + \frac{y^2+25}{y^2-25} - \frac{5}{5-y} = \frac{5}{y+5} + \frac{y^2+25}{(y-5)(y+5)} + \frac{5}{y-5} $

Приводим дроби к общему знаменателю:

$ \frac{5(y-5)}{(y-5)(y+5)} + \frac{y^2+25}{(y-5)(y+5)} + \frac{5(y+5)}{(y-5)(y+5)} = \frac{5(y-5)+y^2+25+5(y+5)}{(y-5)(y+5)} $

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые в числителе:

$ \frac{5y-25+y^2+25+5y+25}{(y-5)(y+5)} = \frac{y^2+10y+25}{(y-5)(y+5)} $

Числитель является формулой квадрата суммы: $ y^2+10y+25 = (y+5)^2 $.

$ \frac{(y+5)^2}{(y-5)(y+5)} = \frac{y+5}{y-5} $

2. Теперь выполним деление. Для этого делимое $ \frac{y^2+5y}{(y-5)^2} $ умножим на дробь, обратную полученной в шаге 1.

Сначала преобразуем делимое: $ \frac{y^2+5y}{(y-5)^2} = \frac{y(y+5)}{(y-5)^2} $.

Выполняем деление:

$ \frac{y(y+5)}{(y-5)^2} : \frac{y+5}{y-5} = \frac{y(y+5)}{(y-5)^2} \cdot \frac{y-5}{y+5} $

$ \frac{y(y+5)(y-5)}{(y-5)^2(y+5)} = \frac{y(y+5)(y-5)}{(y-5)(y-5)(y+5)} $

Сокращаем общие множители $ (y+5) $ и $ (y-5) $:

$ \frac{y}{y-5} $

Ответ: $ \frac{y}{y-5} $

34. Докажите, что при всех допустимых значениях переменной значение выражения не зависит от значения переменной:

a) $\frac{c+5}{c^2-64} : \left( \frac{4}{c+8} - \frac{12}{c^2+16c+64} \right) + \frac{4}{8-c}$

б) $\left( \frac{4}{x-7} + \frac{14}{x^2-14x+49} \right) \cdot \frac{x^2-49}{2x-7} - \frac{7x-21}{x-7}$

а)

Чтобы доказать, что значение выражения не зависит от переменной, упростим его по действиям. Область допустимых значений (ОДЗ) определяется условиями: знаменатели не равны нулю ($c^2 - 64 \neq 0$, $c+8 \neq 0$, $c^2+16c+64 \neq 0$, $8-c \neq 0$) и делитель не равен нулю. Это приводит к условиям $ c \neq \pm 8 $ и $ c \neq -5 $.

1. Сначала выполним вычитание в скобках. Заметим, что $ c^2 + 16c + 64 = (c+8)^2 $. Приведем дроби к общему знаменателю:

$ \frac{4}{c + 8} - \frac{12}{c^2 + 16c + 64} = \frac{4}{c + 8} - \frac{12}{(c+8)^2} = \frac{4(c+8) - 12}{(c+8)^2} = \frac{4c + 32 - 12}{(c+8)^2} = \frac{4c + 20}{(c+8)^2} = \frac{4(c+5)}{(c+8)^2} $

2. Теперь выполним деление. Разложим знаменатель первой дроби по формуле разности квадратов: $ c^2 - 64 = (c-8)(c+8) $. Заменяем деление на умножение на обратную дробь и сокращаем:

$ \frac{c + 5}{c^2 - 64} : \frac{4(c+5)}{(c+8)^2} = \frac{c + 5}{(c-8)(c+8)} \cdot \frac{(c+8)^2}{4(c+5)} = \frac{1}{c-8} \cdot \frac{c+8}{4} = \frac{c+8}{4(c-8)} $

3. Наконец, выполним сложение. Заметим, что $ \frac{4}{8-c} = -\frac{4}{c-8} $. Приведем дроби к общему знаменателю:

$ \frac{c+8}{4(c-8)} + \frac{4}{8-c} = \frac{c+8}{4(c-8)} - \frac{4}{c-8} = \frac{c+8 - 4 \cdot 4}{4(c-8)} = \frac{c+8 - 16}{4(c-8)} = \frac{c-8}{4(c-8)} = \frac{1}{4} $

Полученное значение $ \frac{1}{4} $ является константой и не зависит от переменной $c$, что и требовалось доказать.

Ответ: $ \frac{1}{4} $.

б)

Чтобы доказать, что значение выражения не зависит от переменной, упростим его по действиям. Область допустимых значений (ОДЗ): $ x \neq 7 $ и $ x \neq \frac{7}{2} $.

1. Выполним сложение в скобках. Заметим, что знаменатель второй дроби является полным квадратом: $ x^2 - 14x + 49 = (x-7)^2 $. Приведем дроби к общему знаменателю:

$ \frac{4}{x - 7} + \frac{14}{x^2 - 14x + 49} = \frac{4}{x - 7} + \frac{14}{(x - 7)^2} = \frac{4(x-7) + 14}{(x-7)^2} = \frac{4x - 28 + 14}{(x-7)^2} = \frac{4x-14}{(x-7)^2} = \frac{2(2x-7)}{(x-7)^2} $

2. Теперь выполним умножение. Разложим числитель второй дроби по формуле разности квадратов: $ x^2 - 49 = (x-7)(x+7) $. Выполняем умножение и сокращаем:

$ \frac{2(2x-7)}{(x-7)^2} \cdot \frac{x^2 - 49}{2x - 7} = \frac{2(2x-7)}{(x-7)^2} \cdot \frac{(x-7)(x+7)}{2x-7} = \frac{2(x+7)}{x-7} $

3. Наконец, выполним вычитание. Дроби уже имеют общий знаменатель:

$ \frac{2(x+7)}{x-7} - \frac{7x-21}{x-7} = \frac{2x+14 - (7x-21)}{x-7} = \frac{2x+14-7x+21}{x-7} = \frac{-5x+35}{x-7} $

Вынесем общий множитель в числителе и сократим дробь:

$ \frac{-5(x-7)}{x-7} = -5 $

Полученное значение $-5$ является константой и не зависит от переменной $x$, что и требовалось доказать.

Ответ: $-5$.

35. Упростите выражение:

a) $(\frac{x}{x^2 - 2x + 1} - \frac{x+2}{x^2 + x - 2}) \cdot \frac{1}{(2x-2)^{-2}};$

б) $(\frac{y+2}{y^2 - y - 6} - \frac{y}{y^2 - 6y + 9})^{-1} : (3y - 9)^2.$

а)

Исходное выражение: $\left(\frac{x}{x^2 - 2x + 1} - \frac{x+2}{x^2 + x - 2}\right) \cdot \frac{1}{(2x-2)^{-2}}$

1. Разложим на множители знаменатели дробей в скобках.
Знаменатель первой дроби $x^2 - 2x + 1$ является формулой квадрата разности: $(x-1)^2$.
Для разложения знаменателя второй дроби $x^2 + x - 2$ найдем корни соответствующего квадратного уравнения $x^2 + x - 2 = 0$. По теореме Виета, $x_1 \cdot x_2 = -2$ и $x_1 + x_2 = -1$. Корни: $x_1 = 1$ и $x_2 = -2$. Таким образом, $x^2 + x - 2 = (x-1)(x+2)$.

2. Подставим разложенные знаменатели в выражение в скобках:
$\frac{x}{(x-1)^2} - \frac{x+2}{(x-1)(x+2)}$

3. Сократим вторую дробь на $(x+2)$ (при условии, что $x \neq -2$):
$\frac{x}{(x-1)^2} - \frac{1}{x-1}$

4. Приведем дроби к общему знаменателю $(x-1)^2$ и выполним вычитание:
$\frac{x}{(x-1)^2} - \frac{1 \cdot (x-1)}{(x-1)^2} = \frac{x - (x-1)}{(x-1)^2} = \frac{x - x + 1}{(x-1)^2} = \frac{1}{(x-1)^2}$

5. Упростим второй множитель $\frac{1}{(2x-2)^{-2}}$.
По свойству степени $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$, имеем $(2x-2)^{-2} = \frac{1}{(2x-2)^2}$.
Тогда все выражение равно $\frac{1}{\frac{1}{(2x-2)^2}} = (2x-2)^2$.
Вынесем общий множитель 2 за скобки: $(2(x-1))^2 = 2^2(x-1)^2 = 4(x-1)^2$.

6. Умножим результат действия в скобках на упрощенный второй множитель:
$\frac{1}{(x-1)^2} \cdot 4(x-1)^2$

7. Сократим дробь на $(x-1)^2$ (при условии, что $x \neq 1$):
$\frac{1}{\cancel{(x-1)^2}} \cdot 4\cancel{(x-1)^2} = 4$

Ответ: $4$

б)

Исходное выражение: $\left(\frac{y+2}{y^2 - y - 6} - \frac{y}{y^2 - 6y + 9}\right)^{-1} : (3y-9)^2$

1. Разложим на множители знаменатели дробей в скобках.
Для разложения $y^2 - y - 6$ найдем корни уравнения $y^2 - y - 6 = 0$. По теореме Виета, $y_1 \cdot y_2 = -6$ и $y_1 + y_2 = 1$. Корни: $y_1 = 3$ и $y_2 = -2$. Таким образом, $y^2 - y - 6 = (y-3)(y+2)$.
Знаменатель второй дроби $y^2 - 6y + 9$ является формулой квадрата разности: $(y-3)^2$.

2. Подставим разложенные знаменатели в выражение:
$\left(\frac{y+2}{(y-3)(y+2)} - \frac{y}{(y-3)^2}\right)^{-1}$

3. Сократим первую дробь на $(y+2)$ (при условии, что $y \neq -2$):
$\left(\frac{1}{y-3} - \frac{y}{(y-3)^2}\right)^{-1}$

4. Приведем дроби к общему знаменателю $(y-3)^2$ и выполним вычитание:
$\left(\frac{1 \cdot (y-3)}{(y-3)^2} - \frac{y}{(y-3)^2}\right)^{-1} = \left(\frac{y-3-y}{(y-3)^2}\right)^{-1} = \left(\frac{-3}{(y-3)^2}\right)^{-1}$

5. Воспользуемся свойством степени $(\frac{a}{b})^{-1} = \frac{b}{a}$:
$\frac{(y-3)^2}{-3}$

6. Упростим делитель $(3y-9)^2$. Вынесем общий множитель 3 за скобки:
$(3(y-3))^2 = 3^2(y-3)^2 = 9(y-3)^2$.

7. Выполним деление, заменив его умножением на обратную дробь:
$\frac{(y-3)^2}{-3} : (9(y-3)^2) = \frac{(y-3)^2}{-3} \cdot \frac{1}{9(y-3)^2}$

8. Сократим дробь на $(y-3)^2$ (при условии, что $y \neq 3$):
$\frac{\cancel{(y-3)^2}}{-3} \cdot \frac{1}{9\cancel{(y-3)^2}} = \frac{1}{-3 \cdot 9} = -\frac{1}{27}$

Ответ: $-\frac{1}{27}$

36. Докажите тождество:

а) $ (\frac{\sqrt{x^3}-1}{\sqrt{x}-1} + \sqrt{x}) : \frac{x-1}{\sqrt{x}-1} = \sqrt{x} + 1; $

б) $ \frac{1+\sqrt{a}}{1-a} \cdot (\frac{1+\sqrt{a^3}}{1+\sqrt{a}} - \sqrt{a}) = 1 - \sqrt{a}. $

а)

Чтобы доказать тождество, мы преобразуем его левую часть и покажем, что она равна правой части. Область допустимых значений (ОДЗ) для переменной $x$ определяется условиями: $x \ge 0$ (подкоренное выражение), $\sqrt{x} - 1 \neq 0$ (знаменатель), то есть $x \neq 1$. Итак, ОДЗ: $x \ge 0, x \neq 1$.

Преобразуем выражение по действиям.

1. Упростим выражение в скобках: $\frac{\sqrt{x^3} - 1}{\sqrt{x} - 1} + \sqrt{x}$.

Сначала преобразуем дробь. Заметим, что $\sqrt{x^3} = (\sqrt{x})^3$. Числитель дроби можно разложить по формуле разности кубов $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)$:

$\sqrt{x^3} - 1 = (\sqrt{x})^3 - 1^3 = (\sqrt{x}-1)((\sqrt{x})^2 + \sqrt{x} \cdot 1 + 1^2) = (\sqrt{x}-1)(x + \sqrt{x} + 1)$.

Подставим это в дробь и сократим:

$\frac{(\sqrt{x}-1)(x + \sqrt{x} + 1)}{\sqrt{x} - 1} = x + \sqrt{x} + 1$.

Теперь выполним сложение в скобках:

$(x + \sqrt{x} + 1) + \sqrt{x} = x + 2\sqrt{x} + 1$.

Полученное выражение является полным квадратом: $x + 2\sqrt{x} + 1 = (\sqrt{x}+1)^2$.

2. Упростим делитель: $\frac{x-1}{\sqrt{x}-1}$.

Разложим числитель по формуле разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:

$x - 1 = (\sqrt{x})^2 - 1^2 = (\sqrt{x}-1)(\sqrt{x}+1)$.

Подставим и сократим дробь:

$\frac{(\sqrt{x}-1)(\sqrt{x}+1)}{\sqrt{x}-1} = \sqrt{x}+1$.

3. Выполним деление результатов первого и второго действий:

$(\sqrt{x}+1)^2 : (\sqrt{x}+1) = \frac{(\sqrt{x}+1)^2}{\sqrt{x}+1} = \sqrt{x}+1$.

Мы получили, что левая часть тождества равна $\sqrt{x}+1$, что совпадает с правой частью. Тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

б)

Докажем тождество, преобразовав его левую часть. ОДЗ для переменной $a$ определяется условиями: $a \ge 0$ (подкоренное выражение), $1 - a \neq 0$ (знаменатель), т.е. $a \neq 1$, и $1 + \sqrt{a} \neq 0$ (знаменатель), что выполняется для всех $a \ge 0$. Итак, ОДЗ: $a \ge 0, a \neq 1$.

Преобразуем выражение по действиям.

1. Упростим выражение в скобках: $\frac{1+\sqrt{a^3}}{1+\sqrt{a}} - \sqrt{a}$.

Сначала преобразуем дробь. Заметим, что $\sqrt{a^3} = (\sqrt{a})^3$. Числитель дроби можно разложить по формуле суммы кубов $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2)$:

$1 + \sqrt{a^3} = 1^3 + (\sqrt{a})^3 = (1+\sqrt{a})(1^2 - 1 \cdot \sqrt{a} + (\sqrt{a})^2) = (1+\sqrt{a})(1 - \sqrt{a} + a)$.

Подставим это в дробь и сократим:

$\frac{(1+\sqrt{a})(1 - \sqrt{a} + a)}{1+\sqrt{a}} = 1 - \sqrt{a} + a$.

Теперь выполним вычитание в скобках:

$(1 - \sqrt{a} + a) - \sqrt{a} = 1 - 2\sqrt{a} + a$.

Полученное выражение является полным квадратом: $1 - 2\sqrt{a} + a = (1-\sqrt{a})^2$.

2. Упростим первый множитель: $\frac{1+\sqrt{a}}{1-a}$.

Разложим знаменатель по формуле разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:

$1 - a = 1^2 - (\sqrt{a})^2 = (1-\sqrt{a})(1+\sqrt{a})$.

Подставим и сократим дробь:

$\frac{1+\sqrt{a}}{(1-\sqrt{a})(1+\sqrt{a})} = \frac{1}{1-\sqrt{a}}$.

3. Выполним умножение результатов первого и второго действий:

$\frac{1}{1-\sqrt{a}} \cdot (1-\sqrt{a})^2 = \frac{(1-\sqrt{a})^2}{1-\sqrt{a}} = 1 - \sqrt{a}$.

Мы получили, что левая часть тождества равна $1 - \sqrt{a}$, что совпадает с правой частью. Тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

37. Решите уравнение:

a) $\frac{x}{x-2} - \frac{5}{x+2} = \frac{10-x}{x^2-4}$

б) $\frac{3}{x} - \frac{6}{x^2-3x} = \frac{3x-7}{3-x}$

В) $\frac{6}{x^2-4x+3} - \frac{13-7x}{1-x} = \frac{3}{x-3}$

Г) $\frac{8}{x^2-6x+8} + \frac{1-3x}{2-x} = \frac{4}{x-4}$

а) Исходное уравнение: $\frac{x}{x-2} - \frac{5}{x+2} = \frac{10-x}{x^2-4}$.
Сначала найдем общий знаменатель. Для этого разложим знаменатель дроби в правой части на множители по формуле разности квадратов: $x^2-4 = (x-2)(x+2)$.
Таким образом, общий знаменатель для всех дробей уравнения - это $(x-2)(x+2)$.
Область допустимых значений (ОДЗ) уравнения определяется условиями, что знаменатели не равны нулю: $x-2 \neq 0$ и $x+2 \neq 0$. Отсюда $x \neq 2$ и $x \neq -2$.
Умножим обе части уравнения на общий знаменатель $(x-2)(x+2)$, чтобы избавиться от дробей:
$x(x+2) - 5(x-2) = 10-x$
Раскроем скобки в левой части:
$x^2 + 2x - 5x + 10 = 10-x$
Приведем подобные слагаемые в левой части:
$x^2 - 3x + 10 = 10-x$
Перенесем все члены уравнения в левую часть и приравняем к нулю:
$x^2 - 3x + x + 10 - 10 = 0$
$x^2 - 2x = 0$
Вынесем общий множитель $x$ за скобки:
$x(x-2) = 0$
Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Получаем два возможных корня:
$x_1 = 0$
$x_2 - 2 = 0 \Rightarrow x_2 = 2$
Теперь необходимо проверить найденные корни на соответствие ОДЗ ($x \neq 2$ и $x \neq -2$).
Корень $x_1 = 0$ удовлетворяет ОДЗ.
Корень $x_2 = 2$ не удовлетворяет ОДЗ, так как при этом значении знаменатель $x-2$ обращается в ноль. Следовательно, $x=2$ является посторонним корнем.
Таким образом, у уравнения есть только один корень.
Ответ: $0$.

б) Исходное уравнение: $\frac{3}{x} - \frac{6}{x^2-3x} = \frac{3x-7}{3-x}$.
Преобразуем знаменатели. $x^2-3x = x(x-3)$, а $3-x = -(x-3)$. Подставим это в уравнение:
$\frac{3}{x} - \frac{6}{x(x-3)} = \frac{3x-7}{-(x-3)}$
$\frac{3}{x} - \frac{6}{x(x-3)} = -\frac{3x-7}{x-3}$
Перенесем все члены в левую часть:
$\frac{3}{x} - \frac{6}{x(x-3)} + \frac{3x-7}{x-3} = 0$
Общий знаменатель: $x(x-3)$.
ОДЗ: $x \neq 0$ и $x-3 \neq 0$, то есть $x \neq 0$ и $x \neq 3$.
Умножим уравнение на общий знаменатель $x(x-3)$:
$3(x-3) - 6 + x(3x-7) = 0$
Раскроем скобки:
$3x - 9 - 6 + 3x^2 - 7x = 0$
Приведем подобные слагаемые и запишем в виде стандартного квадратного уравнения:
$3x^2 - 4x - 15 = 0$
Решим квадратное уравнение через дискриминант $D = b^2 - 4ac$:
$D = (-4)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-15) = 16 + 180 = 196 = 14^2$
Найдем корни:
$x_1 = \frac{-(-4) + 14}{2 \cdot 3} = \frac{4+14}{6} = \frac{18}{6} = 3$
$x_2 = \frac{-(-4) - 14}{2 \cdot 3} = \frac{4-14}{6} = \frac{-10}{6} = -\frac{5}{3}$
Проверим корни на соответствие ОДЗ ($x \neq 0, x \neq 3$).
Корень $x_1=3$ не удовлетворяет ОДЗ, является посторонним.
Корень $x_2 = -\frac{5}{3}$ удовлетворяет ОДЗ.
Ответ: $-\frac{5}{3}$.

в) Исходное уравнение: $\frac{6}{x^2-4x+3} - \frac{13-7x}{1-x} = \frac{3}{x-3}$.
Разложим на множители знаменатель $x^2-4x+3$. Его корни $x_1=1, x_2=3$, значит $x^2-4x+3 = (x-1)(x-3)$.
Также заметим, что $1-x = -(x-1)$. Перепишем уравнение:
$\frac{6}{(x-1)(x-3)} - \frac{13-7x}{-(x-1)} = \frac{3}{x-3}$
$\frac{6}{(x-1)(x-3)} + \frac{13-7x}{x-1} = \frac{3}{x-3}$
Общий знаменатель: $(x-1)(x-3)$.
ОДЗ: $x-1 \neq 0$ и $x-3 \neq 0$, то есть $x \neq 1$ и $x \neq 3$.
Умножим уравнение на общий знаменатель $(x-1)(x-3)$:
$6 + (13-7x)(x-3) = 3(x-1)$
Раскроем скобки:
$6 + 13x - 39 - 7x^2 + 21x = 3x - 3$
Приведем подобные слагаемые:
$-7x^2 + 34x - 33 = 3x - 3$
Перенесем все в левую часть:
$-7x^2 + 34x - 3x - 33 + 3 = 0$
$-7x^2 + 31x - 30 = 0$
Умножим на -1 для удобства:
$7x^2 - 31x + 30 = 0$
Решим через дискриминант:
$D = (-31)^2 - 4 \cdot 7 \cdot 30 = 961 - 840 = 121 = 11^2$
Найдем корни:
$x_1 = \frac{31 + 11}{2 \cdot 7} = \frac{42}{14} = 3$
$x_2 = \frac{31 - 11}{2 \cdot 7} = \frac{20}{14} = \frac{10}{7}$
Проверим корни по ОДЗ ($x \neq 1, x \neq 3$).
Корень $x_1=3$ не удовлетворяет ОДЗ, является посторонним.
Корень $x_2 = \frac{10}{7}$ удовлетворяет ОДЗ.
Ответ: $\frac{10}{7}$.

г) Исходное уравнение: $\frac{8}{x^2-6x+8} + \frac{1-3x}{2-x} = \frac{4}{x-4}$.
Разложим на множители знаменатель $x^2-6x+8$. Его корни $x_1=2, x_2=4$, значит $x^2-6x+8 = (x-2)(x-4)$.
Также заметим, что $2-x = -(x-2)$. Перепишем уравнение:
$\frac{8}{(x-2)(x-4)} + \frac{1-3x}{-(x-2)} = \frac{4}{x-4}$
$\frac{8}{(x-2)(x-4)} - \frac{1-3x}{x-2} = \frac{4}{x-4}$
Общий знаменатель: $(x-2)(x-4)$.
ОДЗ: $x-2 \neq 0$ и $x-4 \neq 0$, то есть $x \neq 2$ и $x \neq 4$.
Умножим уравнение на общий знаменатель $(x-2)(x-4)$:
$8 - (1-3x)(x-4) = 4(x-2)$
Раскроем скобки:
$8 - (x - 4 - 3x^2 + 12x) = 4x - 8$
$8 - (13x - 4 - 3x^2) = 4x - 8$
$8 - 13x + 4 + 3x^2 = 4x - 8$
Приведем подобные слагаемые:
$3x^2 - 13x + 12 = 4x - 8$
Перенесем все в левую часть:
$3x^2 - 13x - 4x + 12 + 8 = 0$
$3x^2 - 17x + 20 = 0$
Решим через дискриминант:
$D = (-17)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 20 = 289 - 240 = 49 = 7^2$
Найдем корни:
$x_1 = \frac{17 + 7}{2 \cdot 3} = \frac{24}{6} = 4$
$x_2 = \frac{17 - 7}{2 \cdot 3} = \frac{10}{6} = \frac{5}{3}$
Проверим корни по ОДЗ ($x \neq 2, x \neq 4$).
Корень $x_1=4$ не удовлетворяет ОДЗ, является посторонним.
Корень $x_2 = \frac{5}{3}$ удовлетворяет ОДЗ.
Ответ: $\frac{5}{3}$.

38. Решите уравнение методом введения новой переменной:

а) $\frac{3}{x^2 - 2x - 2} - x^2 + 2x = 0;$

б) $\frac{x}{x^2 - 2} + \frac{6(x^2 - 2)}{x} = 7;$

в) $1 - \frac{15}{(x^2 - 4x)^2} = \frac{2}{x^2 - 4x};$

г) $\frac{x - 3}{x^2 + 10x + 27} + \frac{x^2 + 10x + 27}{x - 3} = -2.$

Решите иррациональное уравнение:

а) Дано уравнение: $\frac{3}{x^2 - 2x - 2} - x^2 + 2x = 0$.
Преобразуем уравнение, вынеся знак минус за скобки: $\frac{3}{x^2 - 2x - 2} - (x^2 - 2x) = 0$.
Заметим, что в уравнении повторяется выражение $x^2 - 2x$. Введем новую переменную.
Пусть $t = x^2 - 2x$. Тогда уравнение принимает вид: $\frac{3}{t - 2} - t = 0$.
Область допустимых значений (ОДЗ) для переменной $t$: $t - 2 \neq 0$, то есть $t \neq 2$.
Решим уравнение относительно $t$:
$\frac{3}{t - 2} = t$
$3 = t(t - 2)$
$t^2 - 2t - 3 = 0$
По теореме Виета находим корни: $t_1 = 3$ и $t_2 = -1$. Оба корня удовлетворяют условию $t \neq 2$.
Теперь выполним обратную замену.
1) Если $t = 3$, то $x^2 - 2x = 3$.
$x^2 - 2x - 3 = 0$.
По теореме Виета находим корни: $x_1 = 3$, $x_2 = -1$.
2) Если $t = -1$, то $x^2 - 2x = -1$.
$x^2 - 2x + 1 = 0$.
$(x - 1)^2 = 0$.
Отсюда $x_3 = 1$.
Проверим ОДЗ исходного уравнения: $x^2 - 2x - 2 \neq 0$. Это соответствует $t - 2 \neq 0$, что мы уже учли. Все найденные корни являются решениями.
Ответ: $-1; 1; 3$.

б) Дано уравнение: $\frac{x}{x^2 - 2} + \frac{6(x^2 - 2)}{x} = 7$.
Заметим, что второе слагаемое является обратным к первому, умноженным на 6. Введем новую переменную.
Пусть $t = \frac{x}{x^2 - 2}$. Тогда $\frac{x^2 - 2}{x} = \frac{1}{t}$.
Уравнение принимает вид: $t + \frac{6}{t} = 7$.
ОДЗ: $x \neq 0$, $x^2 - 2 \neq 0 \implies x \neq \pm\sqrt{2}$. Также $t \neq 0$.
Решим уравнение относительно $t$ (умножим на $t \neq 0$):
$t^2 + 6 = 7t$
$t^2 - 7t + 6 = 0$
По теореме Виета находим корни: $t_1 = 1$ и $t_2 = 6$.
Выполним обратную замену.
1) Если $t = 1$, то $\frac{x}{x^2 - 2} = 1$.
$x = x^2 - 2$
$x^2 - x - 2 = 0$.
По теореме Виета находим корни: $x_1 = 2$, $x_2 = -1$.
2) Если $t = 6$, то $\frac{x}{x^2 - 2} = 6$.
$x = 6(x^2 - 2)$
$6x^2 - x - 12 = 0$.
Дискриминант $D = (-1)^2 - 4 \cdot 6 \cdot (-12) = 1 + 288 = 289 = 17^2$.
$x_{3,4} = \frac{1 \pm 17}{12}$.
$x_3 = \frac{1 + 17}{12} = \frac{18}{12} = \frac{3}{2}$.