Номер 33, страница 8, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

33. Упростите выражение:

a) $\left(\frac{b}{b-3} - \frac{b}{b+3} - \frac{b^2+9}{9-b^2}\right) \cdot \frac{(3-b)^2}{3b+b^2}$

б) $\frac{y^2+5y}{(y-5)^2} : \left(\frac{5}{y+5} + \frac{y^2+25}{y^2-25} - \frac{5}{5-y}\right)$

а)

Упростим выражение по действиям. Сначала выполним действия в скобках.

1. Преобразуем выражение в скобках. Общий знаменатель для дробей $ \frac{b}{b-3} $, $ \frac{b}{b+3} $ и $ \frac{b^2+9}{9-b^2} $ это $ (b-3)(b+3) $, так как $ 9-b^2 = -(b^2-9) = -(b-3)(b+3) $.

$ \frac{b}{b-3} - \frac{b}{b+3} - \frac{b^2+9}{9-b^2} = \frac{b}{b-3} - \frac{b}{b+3} + \frac{b^2+9}{b^2-9} = \frac{b}{b-3} - \frac{b}{b+3} + \frac{b^2+9}{(b-3)(b+3)} $

Приводим дроби к общему знаменателю:

$ \frac{b(b+3)}{(b-3)(b+3)} - \frac{b(b-3)}{(b-3)(b+3)} + \frac{b^2+9}{(b-3)(b+3)} = \frac{b(b+3) - b(b-3) + b^2+9}{(b-3)(b+3)} $

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые в числителе:

$ \frac{b^2+3b-b^2+3b+b^2+9}{(b-3)(b+3)} = \frac{b^2+6b+9}{(b-3)(b+3)} $

Числитель является формулой квадрата суммы: $ b^2+6b+9 = (b+3)^2 $.

$ \frac{(b+3)^2}{(b-3)(b+3)} = \frac{b+3}{b-3} $

2. Теперь упростим второй множитель $ \frac{(3-b)^2}{3b+b^2} $.

В числителе $ (3-b)^2 = (-(b-3))^2 = (b-3)^2 $. В знаменателе вынесем общий множитель $b$: $ 3b+b^2 = b(3+b) $.

Получаем: $ \frac{(b-3)^2}{b(b+3)} $.

3. Выполним умножение результатов шагов 1 и 2:

$ (\frac{b+3}{b-3}) \cdot \frac{(b-3)^2}{b(b+3)} = \frac{(b+3)(b-3)^2}{(b-3)b(b+3)} $

Сокращаем общие множители $ (b+3) $ и $ (b-3) $:

$ \frac{b-3}{b} $

Ответ: $ \frac{b-3}{b} $

б)

Упростим выражение по действиям. Сначала выполним действия в скобках.

1. Преобразуем выражение в скобках. Общий знаменатель для дробей $ \frac{5}{y+5} $, $ \frac{y^2+25}{y^2-25} $ и $ \frac{5}{5-y} $ это $ (y-5)(y+5) $, так как $ y^2-25=(y-5)(y+5) $ и $ 5-y=-(y-5) $.

$ \frac{5}{y+5} + \frac{y^2+25}{y^2-25} - \frac{5}{5-y} = \frac{5}{y+5} + \frac{y^2+25}{(y-5)(y+5)} + \frac{5}{y-5} $

Приводим дроби к общему знаменателю:

$ \frac{5(y-5)}{(y-5)(y+5)} + \frac{y^2+25}{(y-5)(y+5)} + \frac{5(y+5)}{(y-5)(y+5)} = \frac{5(y-5)+y^2+25+5(y+5)}{(y-5)(y+5)} $

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые в числителе:

$ \frac{5y-25+y^2+25+5y+25}{(y-5)(y+5)} = \frac{y^2+10y+25}{(y-5)(y+5)} $

Числитель является формулой квадрата суммы: $ y^2+10y+25 = (y+5)^2 $.

$ \frac{(y+5)^2}{(y-5)(y+5)} = \frac{y+5}{y-5} $

2. Теперь выполним деление. Для этого делимое $ \frac{y^2+5y}{(y-5)^2} $ умножим на дробь, обратную полученной в шаге 1.

Сначала преобразуем делимое: $ \frac{y^2+5y}{(y-5)^2} = \frac{y(y+5)}{(y-5)^2} $.

Выполняем деление:

$ \frac{y(y+5)}{(y-5)^2} : \frac{y+5}{y-5} = \frac{y(y+5)}{(y-5)^2} \cdot \frac{y-5}{y+5} $

$ \frac{y(y+5)(y-5)}{(y-5)^2(y+5)} = \frac{y(y+5)(y-5)}{(y-5)(y-5)(y+5)} $

Сокращаем общие множители $ (y+5) $ и $ (y-5) $:

$ \frac{y}{y-5} $

Ответ: $ \frac{y}{y-5} $