Номер 40, страница 9, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

40. a) $\sqrt{x^2 - 5x} = 6;$

б) $\sqrt{x^2 - 5x + 5} = 1;$

В) $\sqrt{x^2 + 6x} = 4;$

Г) $\sqrt{x^2 + 5x + 2} = 4.$

а) $\sqrt{x^2 - 5x} = 6$

Для решения данного иррационального уравнения возведем обе его части в квадрат. Поскольку правая часть уравнения ($6$) является положительным числом, это преобразование является равносильным на области допустимых значений переменной ($x^2 - 5x \ge 0$).

$(\sqrt{x^2 - 5x})^2 = 6^2$

$x^2 - 5x = 36$

Перенесем все члены уравнения в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$x^2 - 5x - 36 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Воспользуемся теоремой Виета. Сумма корней равна $5$, а их произведение равно $-36$. Легко подобрать корни:

$x_1 = 9$

$x_2 = -4$

Проверим, удовлетворяют ли найденные корни исходному уравнению.

При $x_1 = 9$: $\sqrt{9^2 - 5 \cdot 9} = \sqrt{81 - 45} = \sqrt{36} = 6$. Равенство верно.

При $x_2 = -4$: $\sqrt{(-4)^2 - 5 \cdot (-4)} = \sqrt{16 + 20} = \sqrt{36} = 6$. Равенство верно.

Оба корня подходят.

Ответ: $-4; 9$.

б) $\sqrt{x^2 - 5x + 5} = 1$

Возведем обе части уравнения в квадрат, чтобы избавиться от знака корня. Так как правая часть ($1$) положительна, это равносильное преобразование.

$(\sqrt{x^2 - 5x + 5})^2 = 1^2$

$x^2 - 5x + 5 = 1$

Приведем уравнение к стандартному виду:

$x^2 - 5x + 4 = 0$

Решим это квадратное уравнение по теореме Виета. Сумма корней равна $5$, произведение равно $4$. Корни:

$x_1 = 1$

$x_2 = 4$

Выполним проверку. Поскольку мы возводили в квадрат уравнение, где правая часть была положительным числом, достаточно убедиться, что подкоренное выражение исходного уравнения при найденных значениях $x$ неотрицательно.

При $x_1 = 1$: $x^2 - 5x + 5 = 1^2 - 5(1) + 5 = 1 - 5 + 5 = 1$. Так как $1 \ge 0$, корень подходит. $\sqrt{1} = 1$.

При $x_2 = 4$: $x^2 - 5x + 5 = 4^2 - 5(4) + 5 = 16 - 20 + 5 = 1$. Так как $1 \ge 0$, корень подходит. $\sqrt{1} = 1$.

Оба корня являются решениями.

Ответ: $1; 4$.

в) $\sqrt{x^2 + 6x} = 4$

Возведем обе части уравнения в квадрат. Правая часть ($4$) положительна, поэтому преобразование является равносильным.

$(\sqrt{x^2 + 6x})^2 = 4^2$

$x^2 + 6x = 16$

Перенесем $16$ в левую часть:

$x^2 + 6x - 16 = 0$

Решим квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна $-6$, а произведение $-16$. Корни уравнения:

$x_1 = -8$

$x_2 = 2$

Проведем проверку найденных корней, подставив их в исходное уравнение.

При $x_1 = -8$: $\sqrt{(-8)^2 + 6 \cdot (-8)} = \sqrt{64 - 48} = \sqrt{16} = 4$. Равенство верно.

При $x_2 = 2$: $\sqrt{2^2 + 6 \cdot 2} = \sqrt{4 + 12} = \sqrt{16} = 4$. Равенство верно.

Оба корня удовлетворяют уравнению.

Ответ: $-8; 2$.

г) $\sqrt{x^2 + 5x + 2} = 4$

Возводим обе части уравнения в квадрат. Правая часть ($4$) является положительным числом, поэтому данное преобразование равносильно.

$(\sqrt{x^2 + 5x + 2})^2 = 4^2$

$x^2 + 5x + 2 = 16$

Приведем уравнение к стандартному квадратному виду:

$x^2 + 5x - 14 = 0$

Решим уравнение, используя теорему Виета. Сумма корней равна $-5$, а их произведение равно $-14$. Корни:

$x_1 = -7$

$x_2 = 2$

Выполним проверку. Убедимся, что подкоренное выражение исходного уравнения неотрицательно для найденных корней.

При $x_1 = -7$: $x^2 + 5x + 2 = (-7)^2 + 5(-7) + 2 = 49 - 35 + 2 = 16$. Так как $16 \ge 0$, корень подходит. $\sqrt{16} = 4$.

При $x_2 = 2$: $x^2 + 5x + 2 = 2^2 + 5(2) + 2 = 4 + 10 + 2 = 16$. Так как $16 \ge 0$, корень подходит. $\sqrt{16} = 4$.

Оба корня являются решениями.

Ответ: $-7; 2$.