Номер 42, страница 9, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

42. a) $2\sqrt{x - 1} - \sqrt{x + 4} = 1;$

б) $\sqrt{x + 3} - \sqrt{2x - 1} = \sqrt{3x - 2};$

в) $\sqrt{x + 6} - 2\sqrt{x - 2} = 1;$

г) $\sqrt{x + 1} - \sqrt{x - 2} = \sqrt{2x - 5}.$

а) $2\sqrt{x-1} - \sqrt{x+4} = 1$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Выражения под знаком корня должны быть неотрицательными:
$x - 1 \ge 0 \implies x \ge 1$
$x + 4 \ge 0 \implies x \ge -4$
Пересечением этих условий является $x \ge 1$.

Перенесем один из корней в правую часть уравнения, чтобы уединить его:
$2\sqrt{x-1} = 1 + \sqrt{x+4}$

Возведем обе части уравнения в квадрат. Так как обе части неотрицательны при $x \ge 1$, это преобразование является равносильным.
$(2\sqrt{x-1})^2 = (1 + \sqrt{x+4})^2$
$4(x-1) = 1 + 2\sqrt{x+4} + (x+4)$
$4x - 4 = x + 5 + 2\sqrt{x+4}$

Приведем подобные слагаемые и уединим оставшийся корень:
$4x - x - 4 - 5 = 2\sqrt{x+4}$
$3x - 9 = 2\sqrt{x+4}$

Прежде чем снова возводить в квадрат, необходимо убедиться, что левая часть уравнения неотрицательна (так как правая часть всегда неотрицательна):
$3x - 9 \ge 0 \implies 3x \ge 9 \implies x \ge 3$.
С учетом ОДЗ ($x \ge 1$), получаем более сильное ограничение $x \ge 3$.

Теперь возведем обе части в квадрат:
$(3x - 9)^2 = (2\sqrt{x+4})^2$
$9x^2 - 54x + 81 = 4(x+4)$
$9x^2 - 54x + 81 = 4x + 16$

Получили квадратное уравнение. Перенесем все члены в одну сторону:
$9x^2 - 58x + 65 = 0$
Решим его через дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-58)^2 - 4 \cdot 9 \cdot 65 = 3364 - 2340 = 1024 = 32^2$.
$x_1 = \frac{58 + 32}{18} = \frac{90}{18} = 5$
$x_2 = \frac{58 - 32}{18} = \frac{26}{18} = \frac{13}{9}$

Проверим найденные корни на соответствие условию $x \ge 3$.
$x_1 = 5$ удовлетворяет условию ($5 \ge 3$).
$x_2 = \frac{13}{9} \approx 1.44$ не удовлетворяет условию ($\frac{13}{9} < 3$), поэтому это посторонний корень.

Выполним проверку для $x=5$ подстановкой в исходное уравнение:
$2\sqrt{5-1} - \sqrt{5+4} = 2\sqrt{4} - \sqrt{9} = 2 \cdot 2 - 3 = 4 - 3 = 1$.
$1 = 1$. Равенство верное.

Ответ: 5.

б) $\sqrt{x+3} - \sqrt{2x-1} = \sqrt{3x-2}$

Найдем ОДЗ:
$x+3 \ge 0 \implies x \ge -3$
$2x-1 \ge 0 \implies x \ge 0.5$
$3x-2 \ge 0 \implies x \ge \frac{2}{3}$
Общая область допустимых значений: $x \ge \frac{2}{3}$.

Для того чтобы левая часть была неотрицательной (так как правая часть неотрицательна), должно выполняться условие $\sqrt{x+3} \ge \sqrt{2x-1}$, что равносильно $x+3 \ge 2x-1$, откуда $x \le 4$.
Таким образом, возможные решения лежат в интервале $[\frac{2}{3}; 4]$.

Перепишем уравнение в виде $\sqrt{x+3} = \sqrt{2x-1} + \sqrt{3x-2}$ и возведем обе части в квадрат:
$(\sqrt{x+3})^2 = (\sqrt{2x-1} + \sqrt{3x-2})^2$
$x+3 = (2x-1) + 2\sqrt{(2x-1)(3x-2)} + (3x-2)$
$x+3 = 5x - 3 + 2\sqrt{6x^2 - 7x + 2}$

Уединим корень:
$x+3 - 5x + 3 = 2\sqrt{6x^2 - 7x + 2}$
$6 - 4x = 2\sqrt{6x^2 - 7x + 2}$
Разделим обе части на 2:
$3 - 2x = \sqrt{6x^2 - 7x + 2}$

Левая часть должна быть неотрицательной: $3 - 2x \ge 0 \implies 2x \le 3 \implies x \le 1.5$.
С учетом предыдущих ограничений, ОДЗ для корней сужается до $[\frac{2}{3}; 1.5]$.

Возведем в квадрат обе части последнего уравнения:
$(3 - 2x)^2 = 6x^2 - 7x + 2$
$9 - 12x + 4x^2 = 6x^2 - 7x + 2$
$2x^2 + 5x - 7 = 0$

Решим квадратное уравнение. Дискриминант $D = 5^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-7) = 25 + 56 = 81 = 9^2$.
$x_1 = \frac{-5 + 9}{4} = 1$
$x_2 = \frac{-5 - 9}{4} = -\frac{14}{4} = -3.5$

Проверим корни. $x_1 = 1$ принадлежит интервалу $[\frac{2}{3}; 1.5]$. $x_2 = -3.5$ не принадлежит, это посторонний корень.

Проверка для $x=1$:
$\sqrt{1+3} - \sqrt{2 \cdot 1-1} = \sqrt{4} - \sqrt{1} = 2-1 = 1$.
$\sqrt{3 \cdot 1 - 2} = \sqrt{1} = 1$.
$1=1$. Верно.

Ответ: 1.

в) $\sqrt{x+6} - 2\sqrt{x-2} = 1$

Найдем ОДЗ:
$x+6 \ge 0 \implies x \ge -6$
$x-2 \ge 0 \implies x \ge 2$
Общая ОДЗ: $x \ge 2$.

Перенесем член с корнем в правую часть:
$\sqrt{x+6} = 1 + 2\sqrt{x-2}$

При $x \ge 2$ обе части уравнения неотрицательны. Возведем обе части в квадрат:
$(\sqrt{x+6})^2 = (1 + 2\sqrt{x-2})^2$
$x+6 = 1 + 4\sqrt{x-2} + 4(x-2)$
$x+6 = 1 + 4\sqrt{x-2} + 4x - 8$
$x+6 = 4x - 7 + 4\sqrt{x-2}$

Уединим корень:
$x+6 - 4x + 7 = 4\sqrt{x-2}$
$13 - 3x = 4\sqrt{x-2}$

Левая часть должна быть неотрицательной: $13 - 3x \ge 0 \implies 3x \le 13 \implies x \le \frac{13}{3}$.
С учетом ОДЗ, получаем, что решение должно лежать в интервале $[2; \frac{13}{3}]$.

Возведем в квадрат:
$(13 - 3x)^2 = (4\sqrt{x-2})^2$
$169 - 78x + 9x^2 = 16(x-2)$
$169 - 78x + 9x^2 = 16x - 32$
$9x^2 - 94x + 201 = 0$

Решим квадратное уравнение: $D = (-94)^2 - 4 \cdot 9 \cdot 201 = 8836 - 7236 = 1600 = 40^2$.
$x_1 = \frac{94 + 40}{18} = \frac{134}{18} = \frac{67}{9}$
$x_2 = \frac{94 - 40}{18} = \frac{54}{18} = 3$

Проверим корни. $x_1 = \frac{67}{9} \approx 7.44$. Этот корень не входит в интервал $[2; \frac{13}{3} \approx 4.33]$, так что он посторонний.
$x_2 = 3$ входит в интервал $[2; \frac{13}{3}]$.

Проверка для $x=3$:
$\sqrt{3+6} - 2\sqrt{3-2} = \sqrt{9} - 2\sqrt{1} = 3 - 2 = 1$.
$1=1$. Верно.

Ответ: 3.

г) $\sqrt{x+1} - \sqrt{x-2} = \sqrt{2x-5}$

Найдем ОДЗ:
$x+1 \ge 0 \implies x \ge -1$
$x-2 \ge 0 \implies x \ge 2$
$2x-5 \ge 0 \implies x \ge 2.5$
Общая ОДЗ: $x \ge 2.5$.

Левая часть должна быть неотрицательной: $\sqrt{x+1} - \sqrt{x-2} \ge 0 \implies \sqrt{x+1} \ge \sqrt{x-2} \implies x+1 \ge x-2 \implies 1 \ge -2$. Это верно для всех $x$ из ОДЗ.

Перепишем уравнение в виде $\sqrt{x+1} = \sqrt{x-2} + \sqrt{2x-5}$ и возведем в квадрат:
$(\sqrt{x+1})^2 = (\sqrt{x-2} + \sqrt{2x-5})^2$
$x+1 = (x-2) + 2\sqrt{(x-2)(2x-5)} + (2x-5)$
$x+1 = 3x - 7 + 2\sqrt{2x^2 - 9x + 10}$

Уединим корень:
$x+1 - 3x + 7 = 2\sqrt{2x^2 - 9x + 10}$
$8 - 2x = 2\sqrt{2x^2 - 9x + 10}$
$4 - x = \sqrt{2x^2 - 9x + 10}$

Левая часть должна быть неотрицательной: $4 - x \ge 0 \implies x \le 4$.
С учетом ОДЗ, решение должно лежать в интервале $[2.5; 4]$.

Возведем в квадрат:
$(4-x)^2 = 2x^2 - 9x + 10$
$16 - 8x + x^2 = 2x^2 - 9x + 10$
$x^2 - x - 6 = 0$

Решим квадратное уравнение, например, по теореме Виета. Сумма корней 1, произведение -6. Это корни 3 и -2.
$x_1 = 3$, $x_2 = -2$.

Проверим корни. $x_1 = 3$ принадлежит интервалу $[2.5; 4]$.
$x_2 = -2$ не принадлежит, это посторонний корень.

Проверка для $x=3$:
$\sqrt{3+1} - \sqrt{3-2} = \sqrt{4} - \sqrt{1} = 2-1=1$.
$\sqrt{2 \cdot 3 - 5} = \sqrt{1} = 1$.
$1=1$. Верно.

Ответ: 3.