Номер 49, страница 10, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

49. a) $4x^2 - 12x + 9 > 0$;

Б) $-2x^2 + x - 1 < 0$;

В) $9x^2 - 6x + 1 \le 0$;

Г) $x^2 - 2x + 5 < 0$.

а) Рассмотрим неравенство $4x^2 - 12x + 9 > 0$. Выражение в левой части представляет собой полный квадрат разности. Воспользуемся формулой $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$. В нашем случае $a^2 = 4x^2$, значит $a=2x$, и $b^2=9$, значит $b=3$. Проверим средний член: $2ab = 2 \cdot 2x \cdot 3 = 12x$. Следовательно, $4x^2 - 12x + 9 = (2x - 3)^2$. Неравенство принимает вид: $(2x - 3)^2 > 0$. Квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен, то есть $(2x - 3)^2 \ge 0$. Данное неравенство является строгим, поэтому оно выполняется для всех значений $x$, при которых выражение $(2x-3)^2$ не равно нулю. Найдем, при каком $x$ выражение равно нулю: $(2x - 3)^2 = 0$ $2x - 3 = 0$ $2x = 3$ $x = \frac{3}{2} = 1,5$. Таким образом, решением неравенства являются все действительные числа, кроме $x = 1,5$.
Ответ: $x \in (-\infty; 1,5) \cup (1,5; +\infty)$.

б) Рассмотрим неравенство $-2x^2 + x - 1 < 0$. Для решения этого неравенства исследуем квадратичную функцию $y = -2x^2 + x - 1$. Графиком этой функции является парабола. Коэффициент при $x^2$ равен $a = -2$. Так как $a < 0$, ветви параболы направлены вниз. Найдем точки пересечения параболы с осью абсцисс (осью Ox), для этого найдем корни уравнения $-2x^2 + x - 1 = 0$. Вычислим дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4(-2)(-1) = 1 - 8 = -7$. Так как $D < 0$, уравнение не имеет действительных корней. Это означает, что парабола не пересекает ось Ox. Поскольку ветви параболы направлены вниз и она не пересекает ось Ox, вся парабола расположена ниже оси Ox. Это значит, что выражение $-2x^2 + x - 1$ принимает отрицательные значения при любых действительных значениях $x$. Следовательно, неравенство $-2x^2 + x - 1 < 0$ выполняется для всех $x$.
Ответ: $x \in (-\infty; +\infty)$.

в) Рассмотрим неравенство $9x^2 - 6x + 1 \le 0$. Выражение в левой части также является полным квадратом разности: $9x^2 - 6x + 1 = (3x)^2 - 2 \cdot 3x \cdot 1 + 1^2 = (3x - 1)^2$. Неравенство принимает вид: $(3x - 1)^2 \le 0$. Квадрат любого действительного числа не может быть отрицательным, то есть $(3x - 1)^2 \ge 0$ при любом $x$. Поэтому неравенство $(3x - 1)^2 \le 0$ может выполняться только в одном случае: когда $(3x - 1)^2 = 0$. Решим это уравнение: $3x - 1 = 0$ $3x = 1$ $x = \frac{1}{3}$. Это единственное решение неравенства.
Ответ: $x = \frac{1}{3}$.

г) Рассмотрим неравенство $x^2 - 2x + 5 < 0$. Исследуем квадратичную функцию $y = x^2 - 2x + 5$. Графиком является парабола. Коэффициент при $x^2$ равен $a = 1$. Так как $a > 0$, ветви параболы направлены вверх. Найдем точки пересечения параболы с осью Ox, решив уравнение $x^2 - 2x + 5 = 0$. Вычислим дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4(1)(5) = 4 - 20 = -16$. Так как $D < 0$, уравнение не имеет действительных корней, и парабола не пересекает ось Ox. Поскольку ветви параболы направлены вверх и она не пересекает ось Ox, вся парабола расположена выше оси Ox. Это означает, что выражение $x^2 - 2x + 5$ принимает только положительные значения при любых действительных $x$. Следовательно, неравенство $x^2 - 2x + 5 < 0$ не имеет решений.
Ответ: нет решений.