Номер 51, страница 10, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

51. a) $\frac{x^2 + 9}{4x^2 - 1} < 0$;

б) $\frac{10}{1 - 100x^2} < 0$.

а)

Дано неравенство $\frac{x^2 + 9}{4x^2 - 1} < 0$.

Рассмотрим числитель дроби: $x^2 + 9$. Так как квадрат любого действительного числа неотрицателен ($x^2 \ge 0$), то выражение $x^2 + 9$ всегда будет больше или равно 9, то есть $x^2 + 9 > 0$ при любом значении $x$.

Поскольку числитель дроби всегда положителен, для того чтобы вся дробь была отрицательной, необходимо и достаточно, чтобы ее знаменатель был отрицательным. Таким образом, исходное неравенство равносильно неравенству:

$4x^2 - 1 < 0$

Для решения этого неравенства разложим его левую часть на множители, используя формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:

$(2x - 1)(2x + 1) < 0$

Применим метод интервалов. Сначала найдем корни соответствующего уравнения $(2x - 1)(2x + 1) = 0$. Корнями являются $x_1 = - \frac{1}{2}$ и $x_2 = \frac{1}{2}$.

Эти корни делят числовую ось на три интервала: $(-\infty, -\frac{1}{2})$, $(-\frac{1}{2}, \frac{1}{2})$ и $(\frac{1}{2}, +\infty)$. Графиком функции $y = 4x^2 - 1$ является парабола, ветви которой направлены вверх. Следовательно, функция принимает отрицательные значения между своими корнями.

Таким образом, решение неравенства есть интервал $x \in (-\frac{1}{2}, \frac{1}{2})$.

Ответ: $x \in (-\frac{1}{2}, \frac{1}{2})$.

б)

Дано неравенство $\frac{10}{1 - 100x^2} < 0$.

Числитель дроби равен 10, то есть является положительной константой.

Чтобы дробь с положительным числителем была отрицательной, ее знаменатель должен быть отрицательным. Следовательно, решаем неравенство:

$1 - 100x^2 < 0$

Разложим левую часть на множители по формуле разности квадратов:

$(1 - 10x)(1 + 10x) < 0$

Найдем корни уравнения $(1 - 10x)(1 + 10x) = 0$. Корнями являются $x_1 = -\frac{1}{10}$ и $x_2 = \frac{1}{10}$.

Используем метод интервалов. Точки $x = -0.1$ и $x = 0.1$ делят числовую прямую на три интервала. Графиком функции $y = 1 - 100x^2$ является парабола, ветви которой направлены вниз (коэффициент при $x^2$ отрицательный). Значит, функция принимает отрицательные значения вне интервала между корнями.

Следовательно, неравенство выполняется при $x < -\frac{1}{10}$ или $x > \frac{1}{10}$.

Ответ: $x \in (-\infty, -\frac{1}{10}) \cup (\frac{1}{10}, +\infty)$.