Номер 47, страница 10, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

47. a) $x^2 - 7x + 12 > 0;$

б) $-x^2 + 3x + 4 \ge 0;$

В) $3x^2 - 4x + 1 \le 0;$

Г) $-2x^2 + x + 1 < 0.$

а) $x^2 - 7x + 12 > 0$

Для решения квадратного неравенства сначала найдем корни соответствующего квадратного уравнения $x^2 - 7x + 12 = 0$.

Это приведенное квадратное уравнение, для которого можно применить теорему Виета:

$x_1 + x_2 = 7$

$x_1 \cdot x_2 = 12$

Подбором находим корни: $x_1 = 3$ и $x_2 = 4$.

Также можно найти корни через дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 12 = 49 - 48 = 1$

$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{7 \pm \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{7 \pm 1}{2}$

$x_1 = \frac{7 - 1}{2} = 3$

$x_2 = \frac{7 + 1}{2} = 4$

Графиком функции $y = x^2 - 7x + 12$ является парабола, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент при $x^2$ положителен ($a=1 > 0$). Парабола пересекает ось Ox в точках $x=3$ и $x=4$.

Неравенство $x^2 - 7x + 12 > 0$ выполняется там, где график параболы находится выше оси Ox. Это происходит на интервалах левее меньшего корня и правее большего корня.

Таким образом, решение неравенства: $x \in (-\infty; 3) \cup (4; +\infty)$.

Ответ: $x \in (-\infty; 3) \cup (4; +\infty)$.

б) $-x^2 + 3x + 4 \ge 0$

Сначала найдем корни уравнения $-x^2 + 3x + 4 = 0$. Умножим обе части на -1 для удобства:

$x^2 - 3x - 4 = 0$

Найдем корни через дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 9 + 16 = 25$

$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 \pm \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{3 \pm 5}{2}$

$x_1 = \frac{3 - 5}{2} = -1$

$x_2 = \frac{3 + 5}{2} = 4$

Графиком функции $y = -x^2 + 3x + 4$ является парабола, ветви которой направлены вниз, так как коэффициент при $x^2$ отрицателен ($a=-1 < 0$). Парабола пересекает ось Ox в точках $x=-1$ и $x=4$.

Неравенство $-x^2 + 3x + 4 \ge 0$ выполняется там, где график параболы находится выше или на оси Ox. Это происходит на отрезке между корнями, включая сами корни.

Таким образом, решение неравенства: $x \in [-1; 4]$.

Ответ: $x \in [-1; 4]$.

в) $3x^2 - 4x + 1 \le 0$

Найдем корни квадратного уравнения $3x^2 - 4x + 1 = 0$.

Найдем корни через дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 1 = 16 - 12 = 4$

$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{4 \pm \sqrt{4}}{2 \cdot 3} = \frac{4 \pm 2}{6}$

$x_1 = \frac{4 - 2}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$

$x_2 = \frac{4 + 2}{6} = \frac{6}{6} = 1$

Графиком функции $y = 3x^2 - 4x + 1$ является парабола, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент при $x^2$ положителен ($a=3 > 0$). Парабола пересекает ось Ox в точках $x=1/3$ и $x=1$.

Неравенство $3x^2 - 4x + 1 \le 0$ выполняется там, где график параболы находится ниже или на оси Ox. Это происходит на отрезке между корнями, включая сами корни.

Таким образом, решение неравенства: $x \in [\frac{1}{3}; 1]$.

Ответ: $x \in [\frac{1}{3}; 1]$.

г) $-2x^2 + x + 1 < 0$

Найдем корни уравнения $-2x^2 + x + 1 = 0$. Умножим обе части на -1:

$2x^2 - x - 1 = 0$

Найдем корни через дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-1) = 1 + 8 = 9$

$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 \pm \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{1 \pm 3}{4}$

$x_1 = \frac{1 - 3}{4} = -\frac{2}{4} = -\frac{1}{2}$

$x_2 = \frac{1 + 3}{4} = \frac{4}{4} = 1$

Графиком функции $y = -2x^2 + x + 1$ является парабола, ветви которой направлены вниз, так как коэффициент при $x^2$ отрицателен ($a=-2 < 0$). Парабола пересекает ось Ox в точках $x=-1/2$ и $x=1$.

Неравенство $-2x^2 + x + 1 < 0$ выполняется там, где график параболы находится ниже оси Ox. Это происходит на интервалах левее меньшего корня и правее большего корня.

Таким образом, решение неравенства: $x \in (-\infty; -\frac{1}{2}) \cup (1; +\infty)$.

Ответ: $x \in (-\infty; -\frac{1}{2}) \cup (1; +\infty)$.