Номер 43, страница 9, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

43. a) $\sqrt{2x^2 + 8x + 7} - 2 = x;$

Б) $x + \sqrt{2x^2 - 7x + 5} = 1;$

В) $\sqrt{2x^2 + 8x + 1} - x = 3;$

Г) $x + \sqrt{2x^2 - 8x + 1} = 3.$

а)

Решим иррациональное уравнение $ \sqrt{2x^2 + 8x + 7} - 2 = x $.

Для начала уединим квадратный корень в левой части уравнения:

$ \sqrt{2x^2 + 8x + 7} = x + 2 $

Теперь определим область допустимых значений (ОДЗ). Для этого должны выполняться два условия:

1. Выражение под корнем должно быть неотрицательным: $ 2x^2 + 8x + 7 \ge 0 $. Найдем корни квадратного трехчлена: $ D = 8^2 - 4 \cdot 2 \cdot 7 = 64 - 56 = 8 $. Корни равны $ x_{1,2} = \frac{-8 \pm \sqrt{8}}{4} = \frac{-8 \pm 2\sqrt{2}}{4} = -2 \pm \frac{\sqrt{2}}{2} $. Так как коэффициент при $ x^2 $ положителен, парабола направлена ветвями вверх, и неравенство выполняется при $ x \in (-\infty, -2 - \frac{\sqrt{2}}{2}] \cup [-2 + \frac{\sqrt{2}}{2}, +\infty) $.

2. Правая часть уравнения должна быть неотрицательной, так как она равна значению арифметического квадратного корня: $ x + 2 \ge 0 $, что означает $ x \ge -2 $.

Пересекая оба условия ($ x \ge -2 $ и $ x \in (-\infty, -2 - \frac{\sqrt{2}}{2}] \cup [-2 + \frac{\sqrt{2}}{2}, +\infty) $), получаем итоговую ОДЗ: $ x \in [-2 + \frac{\sqrt{2}}{2}, +\infty) $.

Возведем обе части уравнения $ \sqrt{2x^2 + 8x + 7} = x + 2 $ в квадрат, чтобы избавиться от корня:

$ (\sqrt{2x^2 + 8x + 7})^2 = (x + 2)^2 $

$ 2x^2 + 8x + 7 = x^2 + 4x + 4 $

Переносим все члены в левую часть и решаем полученное квадратное уравнение:

$ 2x^2 - x^2 + 8x - 4x + 7 - 4 = 0 $

$ x^2 + 4x + 3 = 0 $

По теореме Виета, корни уравнения: $ x_1 = -1 $ и $ x_2 = -3 $.

Проверим, соответствуют ли найденные корни ОДЗ ($ x \ge -2 + \frac{\sqrt{2}}{2} \approx -1.29 $).

Корень $ x_1 = -1 $ удовлетворяет условию, так как $ -1 \ge -2 + \frac{\sqrt{2}}{2} $.

Корень $ x_2 = -3 $ не удовлетворяет условию, так как $ -3 < -2 + \frac{\sqrt{2}}{2} $. Следовательно, это посторонний корень.

Ответ: $ x = -1 $

б)

Решим уравнение $ x + \sqrt{2x^2 - 7x + 5} = 1 $.

Уединим квадратный корень:

$ \sqrt{2x^2 - 7x + 5} = 1 - x $

Определим ОДЗ:

1. $ 2x^2 - 7x + 5 \ge 0 $. Дискриминант $ D = (-7)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 5 = 49 - 40 = 9 $. Корни: $ x_1 = \frac{7 - 3}{4} = 1 $, $ x_2 = \frac{7 + 3}{4} = 2.5 $. Неравенство выполняется при $ x \in (-\infty, 1] \cup [2.5, +\infty) $.

2. $ 1 - x \ge 0 $, что означает $ x \le 1 $.

Пересечение этих условий дает ОДЗ: $ x \in (-\infty, 1] $.

Возведем обе части уравнения в квадрат:

$ (\sqrt{2x^2 - 7x + 5})^2 = (1 - x)^2 $

$ 2x^2 - 7x + 5 = 1 - 2x + x^2 $

Решаем полученное квадратное уравнение:

$ 2x^2 - x^2 - 7x + 2x + 5 - 1 = 0 $

$ x^2 - 5x + 4 = 0 $

По теореме Виета, корни: $ x_1 = 1 $ и $ x_2 = 4 $.

Проверим корни по ОДЗ ($ x \le 1 $).

Корень $ x_1 = 1 $ удовлетворяет условию ($ 1 \le 1 $).

Корень $ x_2 = 4 $ не удовлетворяет условию ($ 4 > 1 $), поэтому является посторонним.

Ответ: $ x = 1 $

в)

Решим уравнение $ \sqrt{2x^2 + 8x + 1} - x = 3 $.

Уединим квадратный корень:

$ \sqrt{2x^2 + 8x + 1} = x + 3 $

Определим ОДЗ:

1. $ 2x^2 + 8x + 1 \ge 0 $. Дискриминант $ D = 8^2 - 4 \cdot 2 \cdot 1 = 64 - 8 = 56 $. Корни: $ x_{1,2} = \frac{-8 \pm \sqrt{56}}{4} = -2 \pm \frac{\sqrt{14}}{2} $. Неравенство выполняется при $ x \in (-\infty, -2 - \frac{\sqrt{14}}{2}] \cup [-2 + \frac{\sqrt{14}}{2}, +\infty) $.

2. $ x + 3 \ge 0 $, что означает $ x \ge -3 $.

Пересекая условия, получаем ОДЗ: $ x \in [-2 + \frac{\sqrt{14}}{2}, +\infty) $.

Возведем обе части в квадрат:

$ (\sqrt{2x^2 + 8x + 1})^2 = (x + 3)^2 $

$ 2x^2 + 8x + 1 = x^2 + 6x + 9 $

Решаем полученное квадратное уравнение:

$ 2x^2 - x^2 + 8x - 6x + 1 - 9 = 0 $

$ x^2 + 2x - 8 = 0 $

По теореме Виета, корни: $ x_1 = 2 $ и $ x_2 = -4 $.

Проверим корни по ОДЗ ($ x \ge -2 + \frac{\sqrt{14}}{2} \approx -0.13 $).

Корень $ x_1 = 2 $ удовлетворяет условию ($ 2 > -0.13 $).

Корень $ x_2 = -4 $ не удовлетворяет условию ($ -4 < -0.13 $), поэтому является посторонним.

Ответ: $ x = 2 $

г)

Решим уравнение $ x + \sqrt{2x^2 - 8x + 1} = 3 $.

Уединим квадратный корень:

$ \sqrt{2x^2 - 8x + 1} = 3 - x $

Определим ОДЗ:

1. $ 2x^2 - 8x + 1 \ge 0 $. Дискриминант $ D = (-8)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 1 = 64 - 8 = 56 $. Корни: $ x_{1,2} = \frac{8 \pm \sqrt{56}}{4} = 2 \pm \frac{\sqrt{14}}{2} $. Неравенство выполняется при $ x \in (-\infty, 2 - \frac{\sqrt{14}}{2}] \cup [2 + \frac{\sqrt{14}}{2}, +\infty) $.

2. $ 3 - x \ge 0 $, что означает $ x \le 3 $.

Пересечение этих условий дает ОДЗ: $ x \in (-\infty, 2 - \frac{\sqrt{14}}{2}] $.

Возведем обе части уравнения в квадрат:

$ (\sqrt{2x^2 - 8x + 1})^2 = (3 - x)^2 $

$ 2x^2 - 8x + 1 = 9 - 6x + x^2 $

Решаем полученное квадратное уравнение:

$ 2x^2 - x^2 - 8x + 6x + 1 - 9 = 0 $

$ x^2 - 2x - 8 = 0 $

По теореме Виета, корни: $ x_1 = 4 $ и $ x_2 = -2 $.

Проверим корни по ОДЗ ($ x \le 2 - \frac{\sqrt{14}}{2} \approx 0.13 $).

Корень $ x_1 = 4 $ не удовлетворяет условию ($ 4 > 0.13 $), поэтому является посторонним.

Корень $ x_2 = -2 $ удовлетворяет условию ($ -2 < 0.13 $).

Ответ: $ x = -2 $