Номер 38, страница 8, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

38. Решите уравнение методом введения новой переменной:

а) $\frac{3}{x^2 - 2x - 2} - x^2 + 2x = 0;$

б) $\frac{x}{x^2 - 2} + \frac{6(x^2 - 2)}{x} = 7;$

в) $1 - \frac{15}{(x^2 - 4x)^2} = \frac{2}{x^2 - 4x};$

г) $\frac{x - 3}{x^2 + 10x + 27} + \frac{x^2 + 10x + 27}{x - 3} = -2.$

Решите иррациональное уравнение:

а) Дано уравнение: $\frac{3}{x^2 - 2x - 2} - x^2 + 2x = 0$.
Преобразуем уравнение, вынеся знак минус за скобки: $\frac{3}{x^2 - 2x - 2} - (x^2 - 2x) = 0$.
Заметим, что в уравнении повторяется выражение $x^2 - 2x$. Введем новую переменную.
Пусть $t = x^2 - 2x$. Тогда уравнение принимает вид: $\frac{3}{t - 2} - t = 0$.
Область допустимых значений (ОДЗ) для переменной $t$: $t - 2 \neq 0$, то есть $t \neq 2$.
Решим уравнение относительно $t$:
$\frac{3}{t - 2} = t$
$3 = t(t - 2)$
$t^2 - 2t - 3 = 0$
По теореме Виета находим корни: $t_1 = 3$ и $t_2 = -1$. Оба корня удовлетворяют условию $t \neq 2$.
Теперь выполним обратную замену.
1) Если $t = 3$, то $x^2 - 2x = 3$.
$x^2 - 2x - 3 = 0$.
По теореме Виета находим корни: $x_1 = 3$, $x_2 = -1$.
2) Если $t = -1$, то $x^2 - 2x = -1$.
$x^2 - 2x + 1 = 0$.
$(x - 1)^2 = 0$.
Отсюда $x_3 = 1$.
Проверим ОДЗ исходного уравнения: $x^2 - 2x - 2 \neq 0$. Это соответствует $t - 2 \neq 0$, что мы уже учли. Все найденные корни являются решениями.
Ответ: $-1; 1; 3$.

б) Дано уравнение: $\frac{x}{x^2 - 2} + \frac{6(x^2 - 2)}{x} = 7$.
Заметим, что второе слагаемое является обратным к первому, умноженным на 6. Введем новую переменную.
Пусть $t = \frac{x}{x^2 - 2}$. Тогда $\frac{x^2 - 2}{x} = \frac{1}{t}$.
Уравнение принимает вид: $t + \frac{6}{t} = 7$.
ОДЗ: $x \neq 0$, $x^2 - 2 \neq 0 \implies x \neq \pm\sqrt{2}$. Также $t \neq 0$.
Решим уравнение относительно $t$ (умножим на $t \neq 0$):
$t^2 + 6 = 7t$
$t^2 - 7t + 6 = 0$
По теореме Виета находим корни: $t_1 = 1$ и $t_2 = 6$.
Выполним обратную замену.
1) Если $t = 1$, то $\frac{x}{x^2 - 2} = 1$.
$x = x^2 - 2$
$x^2 - x - 2 = 0$.
По теореме Виета находим корни: $x_1 = 2$, $x_2 = -1$.
2) Если $t = 6$, то $\frac{x}{x^2 - 2} = 6$.
$x = 6(x^2 - 2)$
$6x^2 - x - 12 = 0$.
Дискриминант $D = (-1)^2 - 4 \cdot 6 \cdot (-12) = 1 + 288 = 289 = 17^2$.
$x_{3,4} = \frac{1 \pm 17}{12}$.
$x_3 = \frac{1 + 17}{12} = \frac{18}{12} = \frac{3}{2}$.