Номер 39, страница 9, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

39. a) $\sqrt{x+4} = 3;$

б) $\sqrt{\frac{x+7}{x+2}} = 3;$

в) $\sqrt{3x-1} = 2\sqrt{2};$

г) $\sqrt{\frac{2x-8}{6-x}} = 2.$

а) Исходное уравнение: $\sqrt{x+4}=3$.
Первым шагом определим область допустимых значений (ОДЗ). Выражение, находящееся под знаком квадратного корня, должно быть неотрицательным:
$x + 4 \ge 0$
$x \ge -4$
Далее, для решения уравнения возведем обе его части в квадрат:
$(\sqrt{x + 4})^2 = 3^2$
$x + 4 = 9$
Перенесем 4 в правую часть уравнения:
$x = 9 - 4$
$x = 5$
Проверим, соответствует ли найденный корень ОДЗ. Условие $5 \ge -4$ выполняется.
Подставим найденное значение $x=5$ в исходное уравнение для проверки:
$\sqrt{5 + 4} = \sqrt{9} = 3$
$3 = 3$
Равенство верно, следовательно, корень найден правильно.
Ответ: $5$

б) Исходное уравнение: $\sqrt{\frac{x+7}{x+2}} = 3$.
Найдем ОДЗ. По определению квадратного корня, подкоренное выражение должно быть неотрицательным. Кроме того, знаменатель дроби не должен быть равен нулю.
$\begin{cases} \frac{x+7}{x+2} \ge 0 \\ x+2 \ne 0 \end{cases}$
Решим неравенство $\frac{x+7}{x+2} \ge 0$ методом интервалов. Нули числителя: $x=-7$. Нули знаменателя: $x=-2$ (выколотая точка).
Отметив точки на числовой прямой, получаем интервалы $(-\infty, -7]$, $[-7, -2)$ и $(-2, +\infty)$.
Определив знаки выражения на интервалах, получаем решение неравенства: $x \in (-\infty, -7] \cup (-2, +\infty)$. Это и есть ОДЗ.
Теперь решим уравнение, возведя обе части в квадрат:
$(\sqrt{\frac{x+7}{x+2}})^2 = 3^2$
$\frac{x+7}{x+2} = 9$
$x+7 = 9(x+2)$
$x+7 = 9x + 18$
$7 - 18 = 9x - x$
$-11 = 8x$
$x = -\frac{11}{8}$ или $x = -1.375$.
Проверим, входит ли корень в ОДЗ. Так как $-1.375 > -2$, корень $x = -\frac{11}{8}$ принадлежит ОДЗ.
Подставим в исходное уравнение: $\sqrt{\frac{-11/8+7}{-11/8+2}} = \sqrt{\frac{45/8}{5/8}} = \sqrt{9} = 3$. Верно.
Ответ: $-\frac{11}{8}$

в) Исходное уравнение: $\sqrt{3x-1} = 2\sqrt{2}$.
Определим ОДЗ:
$3x - 1 \ge 0$
$3x \ge 1$
$x \ge \frac{1}{3}$
Возведем обе части уравнения в квадрат:
$(\sqrt{3x - 1})^2 = (2\sqrt{2})^2$
$3x - 1 = 4 \cdot 2$
$3x - 1 = 8$
$3x = 9$
$x = 3$
Проверим корень на соответствие ОДЗ. Условие $3 \ge \frac{1}{3}$ выполняется.
Проверка подстановкой в исходное уравнение:
$\sqrt{3(3) - 1} = \sqrt{9 - 1} = \sqrt{8} = \sqrt{4 \cdot 2} = 2\sqrt{2}$
$2\sqrt{2} = 2\sqrt{2}$
Равенство верное.
Ответ: $3$

г) Исходное уравнение: $\sqrt{\frac{2x-8}{6-x}} = 2$.
Найдем ОДЗ из системы условий:
$\begin{cases} \frac{2x-8}{6-x} \ge 0 \\ 6-x \ne 0 \end{cases}$
Решим неравенство $\frac{2(x-4)}{-(x-6)} \ge 0$, что эквивалентно $\frac{x-4}{x-6} \le 0$.
Методом интервалов с точками $x=4$ и $x=6$ (выколотая) получаем, что ОДЗ: $x \in [4, 6)$.
Возведем обе части уравнения в квадрат:
$(\sqrt{\frac{2x-8}{6-x}})^2 = 2^2$
$\frac{2x-8}{6-x} = 4$
$2x-8 = 4(6-x)$
$2x-8 = 24-4x$
$2x+4x = 24+8$
$6x = 32$
$x = \frac{32}{6} = \frac{16}{3}$
Проверим, входит ли корень в ОДЗ. $x = \frac{16}{3} = 5\frac{1}{3}$. Так как $4 \le 5\frac{1}{3} < 6$, корень удовлетворяет ОДЗ.
Проверка подстановкой: $\sqrt{\frac{2(16/3)-8}{6-16/3}} = \sqrt{\frac{32/3-24/3}{18/3-16/3}} = \sqrt{\frac{8/3}{2/3}} = \sqrt{4} = 2$. Верно.
Ответ: $\frac{16}{3}$