Номер 37, страница 8, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

37. Решите уравнение:

a) $\frac{x}{x-2} - \frac{5}{x+2} = \frac{10-x}{x^2-4}$

б) $\frac{3}{x} - \frac{6}{x^2-3x} = \frac{3x-7}{3-x}$

В) $\frac{6}{x^2-4x+3} - \frac{13-7x}{1-x} = \frac{3}{x-3}$

Г) $\frac{8}{x^2-6x+8} + \frac{1-3x}{2-x} = \frac{4}{x-4}$

а) Исходное уравнение: $\frac{x}{x-2} - \frac{5}{x+2} = \frac{10-x}{x^2-4}$.
Сначала найдем общий знаменатель. Для этого разложим знаменатель дроби в правой части на множители по формуле разности квадратов: $x^2-4 = (x-2)(x+2)$.
Таким образом, общий знаменатель для всех дробей уравнения - это $(x-2)(x+2)$.
Область допустимых значений (ОДЗ) уравнения определяется условиями, что знаменатели не равны нулю: $x-2 \neq 0$ и $x+2 \neq 0$. Отсюда $x \neq 2$ и $x \neq -2$.
Умножим обе части уравнения на общий знаменатель $(x-2)(x+2)$, чтобы избавиться от дробей:
$x(x+2) - 5(x-2) = 10-x$
Раскроем скобки в левой части:
$x^2 + 2x - 5x + 10 = 10-x$
Приведем подобные слагаемые в левой части:
$x^2 - 3x + 10 = 10-x$
Перенесем все члены уравнения в левую часть и приравняем к нулю:
$x^2 - 3x + x + 10 - 10 = 0$
$x^2 - 2x = 0$
Вынесем общий множитель $x$ за скобки:
$x(x-2) = 0$
Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Получаем два возможных корня:
$x_1 = 0$
$x_2 - 2 = 0 \Rightarrow x_2 = 2$
Теперь необходимо проверить найденные корни на соответствие ОДЗ ($x \neq 2$ и $x \neq -2$).
Корень $x_1 = 0$ удовлетворяет ОДЗ.
Корень $x_2 = 2$ не удовлетворяет ОДЗ, так как при этом значении знаменатель $x-2$ обращается в ноль. Следовательно, $x=2$ является посторонним корнем.
Таким образом, у уравнения есть только один корень.
Ответ: $0$.

б) Исходное уравнение: $\frac{3}{x} - \frac{6}{x^2-3x} = \frac{3x-7}{3-x}$.
Преобразуем знаменатели. $x^2-3x = x(x-3)$, а $3-x = -(x-3)$. Подставим это в уравнение:
$\frac{3}{x} - \frac{6}{x(x-3)} = \frac{3x-7}{-(x-3)}$
$\frac{3}{x} - \frac{6}{x(x-3)} = -\frac{3x-7}{x-3}$
Перенесем все члены в левую часть:
$\frac{3}{x} - \frac{6}{x(x-3)} + \frac{3x-7}{x-3} = 0$
Общий знаменатель: $x(x-3)$.
ОДЗ: $x \neq 0$ и $x-3 \neq 0$, то есть $x \neq 0$ и $x \neq 3$.
Умножим уравнение на общий знаменатель $x(x-3)$:
$3(x-3) - 6 + x(3x-7) = 0$
Раскроем скобки:
$3x - 9 - 6 + 3x^2 - 7x = 0$
Приведем подобные слагаемые и запишем в виде стандартного квадратного уравнения:
$3x^2 - 4x - 15 = 0$
Решим квадратное уравнение через дискриминант $D = b^2 - 4ac$:
$D = (-4)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-15) = 16 + 180 = 196 = 14^2$
Найдем корни:
$x_1 = \frac{-(-4) + 14}{2 \cdot 3} = \frac{4+14}{6} = \frac{18}{6} = 3$
$x_2 = \frac{-(-4) - 14}{2 \cdot 3} = \frac{4-14}{6} = \frac{-10}{6} = -\frac{5}{3}$
Проверим корни на соответствие ОДЗ ($x \neq 0, x \neq 3$).
Корень $x_1=3$ не удовлетворяет ОДЗ, является посторонним.
Корень $x_2 = -\frac{5}{3}$ удовлетворяет ОДЗ.
Ответ: $-\frac{5}{3}$.

в) Исходное уравнение: $\frac{6}{x^2-4x+3} - \frac{13-7x}{1-x} = \frac{3}{x-3}$.
Разложим на множители знаменатель $x^2-4x+3$. Его корни $x_1=1, x_2=3$, значит $x^2-4x+3 = (x-1)(x-3)$.
Также заметим, что $1-x = -(x-1)$. Перепишем уравнение:
$\frac{6}{(x-1)(x-3)} - \frac{13-7x}{-(x-1)} = \frac{3}{x-3}$
$\frac{6}{(x-1)(x-3)} + \frac{13-7x}{x-1} = \frac{3}{x-3}$
Общий знаменатель: $(x-1)(x-3)$.
ОДЗ: $x-1 \neq 0$ и $x-3 \neq 0$, то есть $x \neq 1$ и $x \neq 3$.
Умножим уравнение на общий знаменатель $(x-1)(x-3)$:
$6 + (13-7x)(x-3) = 3(x-1)$
Раскроем скобки:
$6 + 13x - 39 - 7x^2 + 21x = 3x - 3$
Приведем подобные слагаемые:
$-7x^2 + 34x - 33 = 3x - 3$
Перенесем все в левую часть:
$-7x^2 + 34x - 3x - 33 + 3 = 0$
$-7x^2 + 31x - 30 = 0$
Умножим на -1 для удобства:
$7x^2 - 31x + 30 = 0$
Решим через дискриминант:
$D = (-31)^2 - 4 \cdot 7 \cdot 30 = 961 - 840 = 121 = 11^2$
Найдем корни:
$x_1 = \frac{31 + 11}{2 \cdot 7} = \frac{42}{14} = 3$
$x_2 = \frac{31 - 11}{2 \cdot 7} = \frac{20}{14} = \frac{10}{7}$
Проверим корни по ОДЗ ($x \neq 1, x \neq 3$).
Корень $x_1=3$ не удовлетворяет ОДЗ, является посторонним.
Корень $x_2 = \frac{10}{7}$ удовлетворяет ОДЗ.
Ответ: $\frac{10}{7}$.

г) Исходное уравнение: $\frac{8}{x^2-6x+8} + \frac{1-3x}{2-x} = \frac{4}{x-4}$.
Разложим на множители знаменатель $x^2-6x+8$. Его корни $x_1=2, x_2=4$, значит $x^2-6x+8 = (x-2)(x-4)$.
Также заметим, что $2-x = -(x-2)$. Перепишем уравнение:
$\frac{8}{(x-2)(x-4)} + \frac{1-3x}{-(x-2)} = \frac{4}{x-4}$
$\frac{8}{(x-2)(x-4)} - \frac{1-3x}{x-2} = \frac{4}{x-4}$
Общий знаменатель: $(x-2)(x-4)$.
ОДЗ: $x-2 \neq 0$ и $x-4 \neq 0$, то есть $x \neq 2$ и $x \neq 4$.
Умножим уравнение на общий знаменатель $(x-2)(x-4)$:
$8 - (1-3x)(x-4) = 4(x-2)$
Раскроем скобки:
$8 - (x - 4 - 3x^2 + 12x) = 4x - 8$
$8 - (13x - 4 - 3x^2) = 4x - 8$
$8 - 13x + 4 + 3x^2 = 4x - 8$
Приведем подобные слагаемые:
$3x^2 - 13x + 12 = 4x - 8$
Перенесем все в левую часть:
$3x^2 - 13x - 4x + 12 + 8 = 0$
$3x^2 - 17x + 20 = 0$
Решим через дискриминант:
$D = (-17)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 20 = 289 - 240 = 49 = 7^2$
Найдем корни:
$x_1 = \frac{17 + 7}{2 \cdot 3} = \frac{24}{6} = 4$
$x_2 = \frac{17 - 7}{2 \cdot 3} = \frac{10}{6} = \frac{5}{3}$
Проверим корни по ОДЗ ($x \neq 2, x \neq 4$).
Корень $x_1=4$ не удовлетворяет ОДЗ, является посторонним.
Корень $x_2 = \frac{5}{3}$ удовлетворяет ОДЗ.
Ответ: $\frac{5}{3}$.