Номер 36, страница 8, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

36. Докажите тождество:

а) $ (\frac{\sqrt{x^3}-1}{\sqrt{x}-1} + \sqrt{x}) : \frac{x-1}{\sqrt{x}-1} = \sqrt{x} + 1; $

б) $ \frac{1+\sqrt{a}}{1-a} \cdot (\frac{1+\sqrt{a^3}}{1+\sqrt{a}} - \sqrt{a}) = 1 - \sqrt{a}. $

а)

Чтобы доказать тождество, мы преобразуем его левую часть и покажем, что она равна правой части. Область допустимых значений (ОДЗ) для переменной $x$ определяется условиями: $x \ge 0$ (подкоренное выражение), $\sqrt{x} - 1 \neq 0$ (знаменатель), то есть $x \neq 1$. Итак, ОДЗ: $x \ge 0, x \neq 1$.

Преобразуем выражение по действиям.

1. Упростим выражение в скобках: $\frac{\sqrt{x^3} - 1}{\sqrt{x} - 1} + \sqrt{x}$.

Сначала преобразуем дробь. Заметим, что $\sqrt{x^3} = (\sqrt{x})^3$. Числитель дроби можно разложить по формуле разности кубов $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)$:

$\sqrt{x^3} - 1 = (\sqrt{x})^3 - 1^3 = (\sqrt{x}-1)((\sqrt{x})^2 + \sqrt{x} \cdot 1 + 1^2) = (\sqrt{x}-1)(x + \sqrt{x} + 1)$.

Подставим это в дробь и сократим:

$\frac{(\sqrt{x}-1)(x + \sqrt{x} + 1)}{\sqrt{x} - 1} = x + \sqrt{x} + 1$.

Теперь выполним сложение в скобках:

$(x + \sqrt{x} + 1) + \sqrt{x} = x + 2\sqrt{x} + 1$.

Полученное выражение является полным квадратом: $x + 2\sqrt{x} + 1 = (\sqrt{x}+1)^2$.

2. Упростим делитель: $\frac{x-1}{\sqrt{x}-1}$.

Разложим числитель по формуле разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:

$x - 1 = (\sqrt{x})^2 - 1^2 = (\sqrt{x}-1)(\sqrt{x}+1)$.

Подставим и сократим дробь:

$\frac{(\sqrt{x}-1)(\sqrt{x}+1)}{\sqrt{x}-1} = \sqrt{x}+1$.

3. Выполним деление результатов первого и второго действий:

$(\sqrt{x}+1)^2 : (\sqrt{x}+1) = \frac{(\sqrt{x}+1)^2}{\sqrt{x}+1} = \sqrt{x}+1$.

Мы получили, что левая часть тождества равна $\sqrt{x}+1$, что совпадает с правой частью. Тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

б)

Докажем тождество, преобразовав его левую часть. ОДЗ для переменной $a$ определяется условиями: $a \ge 0$ (подкоренное выражение), $1 - a \neq 0$ (знаменатель), т.е. $a \neq 1$, и $1 + \sqrt{a} \neq 0$ (знаменатель), что выполняется для всех $a \ge 0$. Итак, ОДЗ: $a \ge 0, a \neq 1$.

Преобразуем выражение по действиям.

1. Упростим выражение в скобках: $\frac{1+\sqrt{a^3}}{1+\sqrt{a}} - \sqrt{a}$.

Сначала преобразуем дробь. Заметим, что $\sqrt{a^3} = (\sqrt{a})^3$. Числитель дроби можно разложить по формуле суммы кубов $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2)$:

$1 + \sqrt{a^3} = 1^3 + (\sqrt{a})^3 = (1+\sqrt{a})(1^2 - 1 \cdot \sqrt{a} + (\sqrt{a})^2) = (1+\sqrt{a})(1 - \sqrt{a} + a)$.

Подставим это в дробь и сократим:

$\frac{(1+\sqrt{a})(1 - \sqrt{a} + a)}{1+\sqrt{a}} = 1 - \sqrt{a} + a$.

Теперь выполним вычитание в скобках:

$(1 - \sqrt{a} + a) - \sqrt{a} = 1 - 2\sqrt{a} + a$.

Полученное выражение является полным квадратом: $1 - 2\sqrt{a} + a = (1-\sqrt{a})^2$.

2. Упростим первый множитель: $\frac{1+\sqrt{a}}{1-a}$.

Разложим знаменатель по формуле разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:

$1 - a = 1^2 - (\sqrt{a})^2 = (1-\sqrt{a})(1+\sqrt{a})$.

Подставим и сократим дробь:

$\frac{1+\sqrt{a}}{(1-\sqrt{a})(1+\sqrt{a})} = \frac{1}{1-\sqrt{a}}$.

3. Выполним умножение результатов первого и второго действий:

$\frac{1}{1-\sqrt{a}} \cdot (1-\sqrt{a})^2 = \frac{(1-\sqrt{a})^2}{1-\sqrt{a}} = 1 - \sqrt{a}$.

Мы получили, что левая часть тождества равна $1 - \sqrt{a}$, что совпадает с правой частью. Тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.