Номер 35, страница 8, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

35. Упростите выражение:

a) $(\frac{x}{x^2 - 2x + 1} - \frac{x+2}{x^2 + x - 2}) \cdot \frac{1}{(2x-2)^{-2}};$

б) $(\frac{y+2}{y^2 - y - 6} - \frac{y}{y^2 - 6y + 9})^{-1} : (3y - 9)^2.$

а)

Исходное выражение: $\left(\frac{x}{x^2 - 2x + 1} - \frac{x+2}{x^2 + x - 2}\right) \cdot \frac{1}{(2x-2)^{-2}}$

1. Разложим на множители знаменатели дробей в скобках.
Знаменатель первой дроби $x^2 - 2x + 1$ является формулой квадрата разности: $(x-1)^2$.
Для разложения знаменателя второй дроби $x^2 + x - 2$ найдем корни соответствующего квадратного уравнения $x^2 + x - 2 = 0$. По теореме Виета, $x_1 \cdot x_2 = -2$ и $x_1 + x_2 = -1$. Корни: $x_1 = 1$ и $x_2 = -2$. Таким образом, $x^2 + x - 2 = (x-1)(x+2)$.

2. Подставим разложенные знаменатели в выражение в скобках:
$\frac{x}{(x-1)^2} - \frac{x+2}{(x-1)(x+2)}$

3. Сократим вторую дробь на $(x+2)$ (при условии, что $x \neq -2$):
$\frac{x}{(x-1)^2} - \frac{1}{x-1}$

4. Приведем дроби к общему знаменателю $(x-1)^2$ и выполним вычитание:
$\frac{x}{(x-1)^2} - \frac{1 \cdot (x-1)}{(x-1)^2} = \frac{x - (x-1)}{(x-1)^2} = \frac{x - x + 1}{(x-1)^2} = \frac{1}{(x-1)^2}$

5. Упростим второй множитель $\frac{1}{(2x-2)^{-2}}$.
По свойству степени $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$, имеем $(2x-2)^{-2} = \frac{1}{(2x-2)^2}$.
Тогда все выражение равно $\frac{1}{\frac{1}{(2x-2)^2}} = (2x-2)^2$.
Вынесем общий множитель 2 за скобки: $(2(x-1))^2 = 2^2(x-1)^2 = 4(x-1)^2$.

6. Умножим результат действия в скобках на упрощенный второй множитель:
$\frac{1}{(x-1)^2} \cdot 4(x-1)^2$

7. Сократим дробь на $(x-1)^2$ (при условии, что $x \neq 1$):
$\frac{1}{\cancel{(x-1)^2}} \cdot 4\cancel{(x-1)^2} = 4$

Ответ: $4$

б)

Исходное выражение: $\left(\frac{y+2}{y^2 - y - 6} - \frac{y}{y^2 - 6y + 9}\right)^{-1} : (3y-9)^2$

1. Разложим на множители знаменатели дробей в скобках.
Для разложения $y^2 - y - 6$ найдем корни уравнения $y^2 - y - 6 = 0$. По теореме Виета, $y_1 \cdot y_2 = -6$ и $y_1 + y_2 = 1$. Корни: $y_1 = 3$ и $y_2 = -2$. Таким образом, $y^2 - y - 6 = (y-3)(y+2)$.
Знаменатель второй дроби $y^2 - 6y + 9$ является формулой квадрата разности: $(y-3)^2$.

2. Подставим разложенные знаменатели в выражение:
$\left(\frac{y+2}{(y-3)(y+2)} - \frac{y}{(y-3)^2}\right)^{-1}$

3. Сократим первую дробь на $(y+2)$ (при условии, что $y \neq -2$):
$\left(\frac{1}{y-3} - \frac{y}{(y-3)^2}\right)^{-1}$

4. Приведем дроби к общему знаменателю $(y-3)^2$ и выполним вычитание:
$\left(\frac{1 \cdot (y-3)}{(y-3)^2} - \frac{y}{(y-3)^2}\right)^{-1} = \left(\frac{y-3-y}{(y-3)^2}\right)^{-1} = \left(\frac{-3}{(y-3)^2}\right)^{-1}$

5. Воспользуемся свойством степени $(\frac{a}{b})^{-1} = \frac{b}{a}$:
$\frac{(y-3)^2}{-3}$

6. Упростим делитель $(3y-9)^2$. Вынесем общий множитель 3 за скобки:
$(3(y-3))^2 = 3^2(y-3)^2 = 9(y-3)^2$.

7. Выполним деление, заменив его умножением на обратную дробь:
$\frac{(y-3)^2}{-3} : (9(y-3)^2) = \frac{(y-3)^2}{-3} \cdot \frac{1}{9(y-3)^2}$

8. Сократим дробь на $(y-3)^2$ (при условии, что $y \neq 3$):
$\frac{\cancel{(y-3)^2}}{-3} \cdot \frac{1}{9\cancel{(y-3)^2}} = \frac{1}{-3 \cdot 9} = -\frac{1}{27}$

Ответ: $-\frac{1}{27}$