Номер 28, страница 7, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

28. Найдите значение выражения:

а) $\sqrt{(3\sqrt{2} - 2\sqrt{5})^2} + 3\sqrt{2};$

б) $\sqrt{(2 - \sqrt{7})^2} + \sqrt{(3 - \sqrt{7})^2};$

в) $\sqrt{(2\sqrt{15} - 3\sqrt{7})^2} - 3\sqrt{7};$

г) $\sqrt{(\sqrt{10} - 3)^2} + \sqrt{(\sqrt{10} - 4)^2}.$

Для решения данных задач воспользуемся свойством арифметического квадратного корня: $\sqrt{a^2} = |a|$, где $|a|$ – это модуль числа $a$. Модуль числа определяется следующим образом:

• $|a| = a$, если $a \ge 0$
• $|a| = -a$, если $a < 0$

а) $\sqrt{(3\sqrt{2} - 2\sqrt{5})^2} + 3\sqrt{2}$

Сначала упростим выражение под корнем: $\sqrt{(3\sqrt{2} - 2\sqrt{5})^2} = |3\sqrt{2} - 2\sqrt{5}|$.

Чтобы раскрыть модуль, нужно определить знак выражения $3\sqrt{2} - 2\sqrt{5}$. Для этого сравним числа $3\sqrt{2}$ и $2\sqrt{5}$. Сравним их квадраты:

$(3\sqrt{2})^2 = 3^2 \cdot (\sqrt{2})^2 = 9 \cdot 2 = 18$

$(2\sqrt{5})^2 = 2^2 \cdot (\sqrt{5})^2 = 4 \cdot 5 = 20$

Поскольку $18 < 20$, то и $3\sqrt{2} < 2\sqrt{5}$. Следовательно, разность $3\sqrt{2} - 2\sqrt{5}$ отрицательна.

По определению модуля, $|3\sqrt{2} - 2\sqrt{5}| = -(3\sqrt{2} - 2\sqrt{5}) = 2\sqrt{5} - 3\sqrt{2}$.

Теперь подставим полученное значение в исходное выражение:

$(2\sqrt{5} - 3\sqrt{2}) + 3\sqrt{2} = 2\sqrt{5} - 3\sqrt{2} + 3\sqrt{2} = 2\sqrt{5}$.

Ответ: $2\sqrt{5}$.

б) $\sqrt{(2 - \sqrt{7})^2} + \sqrt{(3 - \sqrt{7})^2}$

Используем свойство $\sqrt{a^2} = |a|$ для каждого слагаемого:

$\sqrt{(2 - \sqrt{7})^2} + \sqrt{(3 - \sqrt{7})^2} = |2 - \sqrt{7}| + |3 - \sqrt{7}|$.

Определим знак первого выражения $2 - \sqrt{7}$. Сравним квадраты чисел $2$ и $\sqrt{7}$: $2^2 = 4$, $(\sqrt{7})^2 = 7$. Так как $4 < 7$, то $2 < \sqrt{7}$, значит $2 - \sqrt{7} < 0$. Поэтому, $|2 - \sqrt{7}| = -(2 - \sqrt{7}) = \sqrt{7} - 2$.

Определим знак второго выражения $3 - \sqrt{7}$. Сравним квадраты чисел $3$ и $\sqrt{7}$: $3^2 = 9$, $(\sqrt{7})^2 = 7$. Так как $9 > 7$, то $3 > \sqrt{7}$, значит $3 - \sqrt{7} > 0$. Поэтому, $|3 - \sqrt{7}| = 3 - \sqrt{7}$.

Подставим раскрытые модули в выражение:

$(\sqrt{7} - 2) + (3 - \sqrt{7}) = \sqrt{7} - 2 + 3 - \sqrt{7} = 1$.

Ответ: $1$.

в) $\sqrt{(2\sqrt{15} - 3\sqrt{7})^2} - 3\sqrt{7}$

Упрощаем выражение под корнем: $\sqrt{(2\sqrt{15} - 3\sqrt{7})^2} = |2\sqrt{15} - 3\sqrt{7}|$.

Определим знак выражения $2\sqrt{15} - 3\sqrt{7}$. Сравним квадраты чисел $2\sqrt{15}$ и $3\sqrt{7}$:

$(2\sqrt{15})^2 = 4 \cdot 15 = 60$

$(3\sqrt{7})^2 = 9 \cdot 7 = 63$

Поскольку $60 < 63$, то $2\sqrt{15} < 3\sqrt{7}$, и разность $2\sqrt{15} - 3\sqrt{7}$ отрицательна.

Следовательно, $|2\sqrt{15} - 3\sqrt{7}| = -(2\sqrt{15} - 3\sqrt{7}) = 3\sqrt{7} - 2\sqrt{15}$.

Подставляем в исходное выражение:

$(3\sqrt{7} - 2\sqrt{15}) - 3\sqrt{7} = 3\sqrt{7} - 2\sqrt{15} - 3\sqrt{7} = -2\sqrt{15}$.

Ответ: $-2\sqrt{15}$.

г) $\sqrt{(\sqrt{10} - 3)^2} + \sqrt{(\sqrt{10} - 4)^2}$

Применим свойство $\sqrt{a^2} = |a|$ к обоим слагаемым:

$\sqrt{(\sqrt{10} - 3)^2} + \sqrt{(\sqrt{10} - 4)^2} = |\sqrt{10} - 3| + |\sqrt{10} - 4|$.

Определим знак первого выражения $\sqrt{10} - 3$. Сравним квадраты чисел $\sqrt{10}$ и $3$: $(\sqrt{10})^2 = 10$, $3^2 = 9$. Так как $10 > 9$, то $\sqrt{10} > 3$, значит $\sqrt{10} - 3 > 0$. Поэтому, $|\sqrt{10} - 3| = \sqrt{10} - 3$.

Определим знак второго выражения $\sqrt{10} - 4$. Сравним квадраты чисел $\sqrt{10}$ и $4$: $(\sqrt{10})^2 = 10$, $4^2 = 16$. Так как $10 < 16$, то $\sqrt{10} < 4$, значит $\sqrt{10} - 4 < 0$. Поэтому, $|\sqrt{10} - 4| = -(\sqrt{10} - 4) = 4 - \sqrt{10}$.

Подставим раскрытые модули в выражение:

$(\sqrt{10} - 3) + (4 - \sqrt{10}) = \sqrt{10} - 3 + 4 - \sqrt{10} = 1$.

Ответ: $1$.