Номер 25, страница 6, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

25. Вычислите:

a) $\frac{5^{-4} \cdot 15^6}{(3^{-5})^{-2}}$

б) $\frac{4^3 \cdot 14^{-3}}{7^{-5} \cdot 2^7}$

В) $\frac{3^5 \cdot 6^{-6}}{(2^3)^{-4}}$

Г) $\frac{8^{-3} \cdot 10^5}{5^6 \cdot 2^{-2}}$

а) Для вычисления выражения $ \frac{5^{-4} \cdot 15^6}{(3^{-5})^{-2}} $ необходимо упростить его, используя свойства степеней.
1. Сначала преобразуем числитель. Разложим число 15 на простые множители: $ 15 = 3 \cdot 5 $. Тогда, используя свойство $ (ab)^n = a^n b^n $, получим $ 15^6 = (3 \cdot 5)^6 = 3^6 \cdot 5^6 $.
2. Теперь упростим знаменатель, используя свойство $ (a^m)^n = a^{mn} $: $ (3^{-5})^{-2} = 3^{-5 \cdot (-2)} = 3^{10} $.
3. Подставим полученные выражения обратно в дробь: $ \frac{5^{-4} \cdot 3^6 \cdot 5^6}{3^{10}} $.
4. Сгруппируем степени с одинаковыми основаниями и применим свойства $ a^m \cdot a^n = a^{m+n} $ и $ \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} $:
$ \frac{5^{-4+6} \cdot 3^6}{3^{10}} = \frac{5^2 \cdot 3^6}{3^{10}} = 5^2 \cdot 3^{6-10} = 5^2 \cdot 3^{-4} $.
5. Вычислим конечный результат. Используем свойство $ a^{-n} = \frac{1}{a^n} $:
$ 5^2 \cdot 3^{-4} = 25 \cdot \frac{1}{3^4} = 25 \cdot \frac{1}{81} = \frac{25}{81} $.
Ответ: $ \frac{25}{81} $.

б) Для вычисления выражения $ \frac{4^3 \cdot 14^{-3}}{7^{-5} \cdot 2^7} $ разложим числа на простые множители.
1. Преобразуем числитель: $ 4 = 2^2 $, поэтому $ 4^3 = (2^2)^3 = 2^{2 \cdot 3} = 2^6 $.
$ 14 = 2 \cdot 7 $, поэтому $ 14^{-3} = (2 \cdot 7)^{-3} = 2^{-3} \cdot 7^{-3} $.
Таким образом, числитель равен $ 2^6 \cdot 2^{-3} \cdot 7^{-3} $.
2. Подставим преобразованный числитель в исходное выражение: $ \frac{2^6 \cdot 2^{-3} \cdot 7^{-3}}{7^{-5} \cdot 2^7} $.
3. Сгруппируем степени с одинаковыми основаниями и применим свойства степеней:
$ \frac{2^{6+(-3)}}{2^7} \cdot \frac{7^{-3}}{7^{-5}} = \frac{2^3}{2^7} \cdot \frac{7^{-3}}{7^{-5}} = 2^{3-7} \cdot 7^{-3-(-5)} = 2^{-4} \cdot 7^{-3+5} = 2^{-4} \cdot 7^2 $.
4. Вычислим результат:
$ 2^{-4} \cdot 7^2 = \frac{1}{2^4} \cdot 49 = \frac{1}{16} \cdot 49 = \frac{49}{16} $.
Ответ: $ \frac{49}{16} $.

в) Для вычисления выражения $ \frac{3^5 \cdot 6^{-6}}{(2^3)^{-4}} $ выполним следующие преобразования.
1. Преобразуем числитель. Разложим $ 6 $ на множители: $ 6 = 2 \cdot 3 $. Тогда $ 6^{-6} = (2 \cdot 3)^{-6} = 2^{-6} \cdot 3^{-6} $.
Числитель примет вид: $ 3^5 \cdot 2^{-6} \cdot 3^{-6} $.
2. Упростим знаменатель: $ (2^3)^{-4} = 2^{3 \cdot (-4)} = 2^{-12} $.
3. Подставим преобразованные части в дробь: $ \frac{3^5 \cdot 2^{-6} \cdot 3^{-6}}{2^{-12}} $.
4. Сгруппируем степени и упростим:
$ \frac{3^{5+(-6)} \cdot 2^{-6}}{2^{-12}} = \frac{3^{-1} \cdot 2^{-6}}{2^{-12}} = 3^{-1} \cdot 2^{-6-(-12)} = 3^{-1} \cdot 2^{-6+12} = 3^{-1} \cdot 2^6 $.
5. Вычислим итоговое значение:
$ 3^{-1} \cdot 2^6 = \frac{1}{3} \cdot 64 = \frac{64}{3} $.
Ответ: $ \frac{64}{3} $.

г) Для вычисления выражения $ \frac{8^{-3} \cdot 10^5}{5^6 \cdot 2^{-2}} $ представим основания степеней в виде простых чисел.
1. Преобразуем числитель:
$ 8 = 2^3 $, поэтому $ 8^{-3} = (2^3)^{-3} = 2^{3 \cdot (-3)} = 2^{-9} $.
$ 10 = 2 \cdot 5 $, поэтому $ 10^5 = (2 \cdot 5)^5 = 2^5 \cdot 5^5 $.
Числитель равен: $ 2^{-9} \cdot 2^5 \cdot 5^5 $.
2. Подставим преобразованный числитель в выражение: $ \frac{2^{-9} \cdot 2^5 \cdot 5^5}{5^6 \cdot 2^{-2}} $.
3. Сгруппируем степени с одинаковыми основаниями:
$ \frac{2^{-9+5}}{2^{-2}} \cdot \frac{5^5}{5^6} = \frac{2^{-4}}{2^{-2}} \cdot \frac{5^5}{5^6} $.
4. Применим свойство $ \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} $:
$ 2^{-4-(-2)} \cdot 5^{5-6} = 2^{-4+2} \cdot 5^{-1} = 2^{-2} \cdot 5^{-1} $.
5. Вычислим результат:
$ 2^{-2} \cdot 5^{-1} = \frac{1}{2^2} \cdot \frac{1}{5^1} = \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{5} = \frac{1}{20} $.
Ответ: $ \frac{1}{20} $.