Номер 24, страница 6, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

24. Какое наименьшее количество различных трёхзначных чисел нужно взять, чтобы среди них наверняка было бы одно число:

а) оканчивающееся не на нуль;

б) со средней цифрой нуль;

в) без нулей в их десятичной записи?

Эта задача решается с помощью принципа Дирихле, рассматривая наихудший сценарий. Чтобы гарантированно получить число с нужным свойством, мы должны сначала выбрать все числа, которые этим свойством не обладают. Следующее взятое число обязательно будет искомым.

Всего существует $999 - 100 + 1 = 900$ различных трёхзначных чисел.

а) оканчивающееся не на нуль;

Рассмотрим наихудший случай: мы выбираем числа, которые оканчиваются на нуль. Это числа вида $XY0$, где первая цифра $X$ может быть от 1 до 9 (9 вариантов), а вторая $Y$ — от 0 до 9 (10 вариантов). Общее количество таких чисел: $9 \times 10 = 90$.
Мы можем в худшем случае выбрать все эти 90 чисел. Следующее, 91-е число, обязательно будет оканчиваться не на нуль, так как все числа, оканчивающиеся на нуль, уже выбраны.
Следовательно, нужно взять $90 + 1 = 91$ число.
Ответ: 91.

б) со средней цифрой нуль;

Наихудший сценарий — мы выбираем все трёхзначные числа, у которых средняя цифра — не нуль. Это числа вида $XYZ$, где $X$ — любая цифра от 1 до 9 (9 вариантов), $Y$ — любая цифра от 1 до 9 (9 вариантов, так как нуль исключён), а $Z$ — любая цифра от 0 до 9 (10 вариантов).
Количество таких "неподходящих" чисел равно $9 \times 9 \times 10 = 810$.
Выбрав все эти 810 чисел, следующее, 811-е число, по принципу Дирихле гарантированно будет иметь нуль в качестве средней цифры.
Следовательно, нужно взять $810 + 1 = 811$ чисел.
Ответ: 811.

в) без нулей в их десятичной записи?

В наихудшем случае мы будем выбирать все трёхзначные числа, в записи которых есть хотя бы один нуль. Проще посчитать количество чисел, в которых нулей нет, и вычесть это из общего количества трёхзначных чисел.
Количество трёхзначных чисел без нулей в записи: первая цифра может быть любой от 1 до 9 (9 вариантов), вторая — от 1 до 9 (9 вариантов), третья — от 1 до 9 (9 вариантов). Всего таких чисел: $9 \times 9 \times 9 = 729$.
Тогда количество трёхзначных чисел, имеющих хотя бы один нуль в записи, равно разности общего количества трёхзначных чисел и количества чисел без нулей: $900 - 729 = 171$.
Это и есть количество "неподходящих" чисел. Если мы выберем все эти 171 число, то следующее, 172-е, гарантированно будет числом без нулей в своей записи.
Следовательно, нужно взять $171 + 1 = 172$ числа.
Ответ: 172.