Номер 31, страница 7, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

31. Решите уравнение методом введения новой переменной:

a) $x^4 - 2x^2 - 8 = 0;$

б) $x^4 - 11x^2 + 18 = 0;$

в) $2(x^2 - 1)^2 - 13(x^2 - 1) - 24 = 0;$

г) $(x^2 - 4x)^2 + 9(x^2 - 4x) + 20 = 0.$

а) Исходное уравнение: $x^4 - 2x^2 - 8 = 0$.
Это биквадратное уравнение. Введем новую переменную. Пусть $t = x^2$. Так как квадрат любого действительного числа неотрицателен, то $t \ge 0$.
Подставив $t$ в исходное уравнение, получим квадратное уравнение:
$t^2 - 2t - 8 = 0$.
Решим его через дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 4 + 32 = 36$.
$t_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 + \sqrt{36}}{2} = \frac{2 + 6}{2} = 4$.
$t_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 - \sqrt{36}}{2} = \frac{2 - 6}{2} = -2$.
Проверим найденные корни на соответствие условию $t \ge 0$.
Корень $t_1 = 4$ удовлетворяет условию.
Корень $t_2 = -2$ не удовлетворяет условию ($-2 < 0$), поэтому он является посторонним.
Вернемся к исходной переменной $x$, используя корень $t = 4$:
$x^2 = 4$.
Отсюда получаем два корня: $x_1 = 2$ и $x_2 = -2$.
Ответ: $x = \pm 2$.

б) Исходное уравнение: $x^4 - 11x^2 + 18 = 0$.
Это биквадратное уравнение. Введем замену: $t = x^2$, где $t \ge 0$.
Получаем квадратное уравнение относительно $t$:
$t^2 - 11t + 18 = 0$.
Решим его. Можно использовать теорему Виета: сумма корней равна 11, произведение равно 18. Корни $t_1=9$ и $t_2=2$.
Либо через дискриминант:
$D = (-11)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 18 = 121 - 72 = 49$.
$t_1 = \frac{11 + \sqrt{49}}{2} = \frac{11 + 7}{2} = 9$.
$t_2 = \frac{11 - \sqrt{49}}{2} = \frac{11 - 7}{2} = 2$.
Оба корня удовлетворяют условию $t \ge 0$.
Выполним обратную замену для каждого корня:
1) Если $t = 9$, то $x^2 = 9$. Отсюда $x = \pm 3$.
2) Если $t = 2$, то $x^2 = 2$. Отсюда $x = \pm \sqrt{2}$.
Таким образом, уравнение имеет четыре корня.
Ответ: $x = \pm 3; x = \pm \sqrt{2}$.

в) Исходное уравнение: $2(x^2 - 1)^2 - 13(x^2 - 1) - 24 = 0$.
Введем новую переменную. Пусть $t = x^2 - 1$.
Так как $x^2 \ge 0$, то $x^2 - 1 \ge -1$. Следовательно, для новой переменной должно выполняться условие $t \ge -1$.
Подставим $t$ в уравнение:
$2t^2 - 13t - 24 = 0$.
Решим полученное квадратное уравнение:
$D = (-13)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-24) = 169 + 192 = 361 = 19^2$.
$t_1 = \frac{13 + 19}{2 \cdot 2} = \frac{32}{4} = 8$.
$t_2 = \frac{13 - 19}{2 \cdot 2} = \frac{-6}{4} = -1.5$.
Проверим корни на соответствие условию $t \ge -1$.
Корень $t_1 = 8$ удовлетворяет условию ($8 > -1$).
Корень $t_2 = -1.5$ не удовлетворяет условию ($-1.5 < -1$), поэтому он посторонний.
Выполним обратную замену для $t = 8$:
$x^2 - 1 = 8$.
$x^2 = 9$.
$x = \pm 3$.
Ответ: $x = \pm 3$.

г) Исходное уравнение: $(x^2 - 4x)^2 + 9(x^2 - 4x) + 20 = 0$.
Введем замену. Пусть $t = x^2 - 4x$.
Уравнение принимает вид:
$t^2 + 9t + 20 = 0$.
Решим это квадратное уравнение по теореме Виета: сумма корней равна -9, произведение равно 20. Корни $t_1=-4$ и $t_2=-5$.
Или через дискриминант:
$D = 9^2 - 4 \cdot 1 \cdot 20 = 81 - 80 = 1$.
$t_1 = \frac{-9 + 1}{2} = -4$.
$t_2 = \frac{-9 - 1}{2} = -5$.
Вернемся к исходной переменной $x$.
1) При $t = -4$:
$x^2 - 4x = -4$.
$x^2 - 4x + 4 = 0$.
Это полный квадрат: $(x - 2)^2 = 0$.
Отсюда $x - 2 = 0$, то есть $x = 2$.
2) При $t = -5$:
$x^2 - 4x = -5$.
$x^2 - 4x + 5 = 0$.
Найдем дискриминант этого уравнения: $D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5 = 16 - 20 = -4$.
Так как $D < 0$, это уравнение не имеет действительных корней.
Следовательно, исходное уравнение имеет единственный корень.
Ответ: $x = 2$.