Номер 44, страница 9, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

44. Решите уравнение методом введения новой переменной:

a) $x^2 + 2x - 2\sqrt{x^2 + 2x} = 3;$

б) $x^2 + 6x + 24 = 10\sqrt{x^2 + 6x}.$

в) $\sqrt{2 - x} + \frac{4}{\sqrt{2 - x} + 3} = 2;$

г) $\frac{3}{\sqrt{x + 1} + 1} + 2\sqrt{x + 1} = 5.$

а) Исходное уравнение: $x^2 + 2x - 2\sqrt{x^2 + 2x} = 3$.
Определим область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под корнем должно быть неотрицательным: $x^2 + 2x \ge 0$, что равносильно $x(x+2) \ge 0$. Это неравенство выполняется при $x \in (-\infty, -2] \cup [0, \infty)$.
Введем новую переменную. Пусть $t = \sqrt{x^2 + 2x}$. Так как корень является арифметическим, то $t \ge 0$.
Тогда $x^2 + 2x = t^2$. Подставим новую переменную в исходное уравнение:
$t^2 - 2t = 3$
$t^2 - 2t - 3 = 0$
Решим полученное квадратное уравнение относительно $t$. По теореме Виета, корни уравнения: $t_1 = 3$ и $t_2 = -1$.
Проверим найденные корни на соответствие условию $t \ge 0$.
Корень $t_1 = 3$ удовлетворяет условию, так как $3 \ge 0$.
Корень $t_2 = -1$ не удовлетворяет условию, так как $-1 < 0$, следовательно, это посторонний корень.
Выполним обратную замену для $t=3$:
$\sqrt{x^2 + 2x} = 3$
Возведем обе части уравнения в квадрат:
$x^2 + 2x = 9$
$x^2 + 2x - 9 = 0$
Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:
$D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-9) = 4 + 36 = 40$.
$\sqrt{D} = \sqrt{40} = 2\sqrt{10}$.
$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 \pm 2\sqrt{10}}{2} = -1 \pm \sqrt{10}$.
Получили два корня: $x_1 = -1 + \sqrt{10}$ и $x_2 = -1 - \sqrt{10}$.
Проверим, удовлетворяют ли найденные корни ОДЗ. Для обоих корней выполняется равенство $x^2 + 2x = 9$, а так как $9 \ge 0$, то ОДЗ выполняется.
Ответ: $-1 - \sqrt{10}; -1 + \sqrt{10}$.

б) Исходное уравнение: $x^2 + 6x + 24 = 10\sqrt{x^2 + 6x}$.
ОДЗ: $x^2 + 6x \ge 0 \implies x(x+6) \ge 0 \implies x \in (-\infty, -6] \cup [0, \infty)$.
Введем замену: пусть $t = \sqrt{x^2 + 6x}$. Условие для новой переменной: $t \ge 0$.
Тогда $x^2 + 6x = t^2$. Уравнение принимает вид:
$t^2 + 24 = 10t$
$t^2 - 10t + 24 = 0$
Решим квадратное уравнение. По теореме Виета, корни: $t_1 = 4$ и $t_2 = 6$.
Оба корня удовлетворяют условию $t \ge 0$.
Выполним обратную замену для каждого значения $t$.
1) Случай $t = 4$:
$\sqrt{x^2 + 6x} = 4$
$x^2 + 6x = 16$
$x^2 + 6x - 16 = 0$
По теореме Виета, корни: $x_1 = 2$, $x_2 = -8$.
2) Случай $t = 6$:
$\sqrt{x^2 + 6x} = 6$
$x^2 + 6x = 36$
$x^2 + 6x - 36 = 0$
Решим через дискриминант:
$D = 6^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-36) = 36 + 144 = 180$.
$\sqrt{D} = \sqrt{36 \cdot 5} = 6\sqrt{5}$.
$x_{3,4} = \frac{-6 \pm 6\sqrt{5}}{2} = -3 \pm 3\sqrt{5}$.
Все четыре найденных корня ($2, -8, -3+3\sqrt{5}, -3-3\sqrt{5}$) удовлетворяют ОДЗ, так как для них подкоренное выражение $x^2+6x$ равно $16$ или $36$, что больше или равно нулю.
Ответ: $-8; 2; -3 - 3\sqrt{5}; -3 + 3\sqrt{5}$.

в) Исходное уравнение: $\sqrt{2 - x} + \frac{4}{\sqrt{2 - x} + 3} = 2$.
ОДЗ: $2 - x \ge 0 \implies x \le 2$. Знаменатель $\sqrt{2-x}+3$ всегда положителен, так как $\sqrt{2-x} \ge 0$.
Введем новую переменную: пусть $t = \sqrt{2 - x}$, где $t \ge 0$.
Уравнение примет вид:
$t + \frac{4}{t + 3} = 2$
Умножим обе части на знаменатель $t+3$ (он не равен нулю):
$t(t+3) + 4 = 2(t+3)$
$t^2 + 3t + 4 = 2t + 6$
$t^2 + t - 2 = 0$
По теореме Виета, корни этого уравнения: $t_1 = 1$ и $t_2 = -2$.
Корень $t_1 = 1$ удовлетворяет условию $t \ge 0$.
Корень $t_2 = -2$ не удовлетворяет условию $t \ge 0$, является посторонним.
Выполним обратную замену для $t=1$:
$\sqrt{2 - x} = 1$
$2 - x = 1^2$
$2 - x = 1$
$x = 1$.
Корень $x=1$ удовлетворяет ОДЗ ($1 \le 2$).
Ответ: $1$.

г) Исходное уравнение: $\frac{3}{\sqrt{x+1}+1} + 2\sqrt{x+1} = 5$.
ОДЗ: $x+1 \ge 0 \implies x \ge -1$. Знаменатель $\sqrt{x+1}+1$ всегда положителен.
Введем замену: пусть $t = \sqrt{x+1}$, где $t \ge 0$.
Уравнение перепишется как:
$\frac{3}{t+1} + 2t = 5$
Умножим обе части на $t+1$:
$3 + 2t(t+1) = 5(t+1)$
$3 + 2t^2 + 2t = 5t + 5$
$2t^2 - 3t - 2 = 0$
Решим квадратное уравнение через дискриминант:
$D = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-2) = 9 + 16 = 25$.
$t_{1,2} = \frac{-(-3) \pm \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{3 \pm 5}{4}$.
$t_1 = \frac{3+5}{4} = \frac{8}{4} = 2$.
$t_2 = \frac{3-5}{4} = \frac{-2}{4} = -0.5$.
Корень $t_1 = 2$ удовлетворяет условию $t \ge 0$.
Корень $t_2 = -0.5$ не удовлетворяет условию $t \ge 0$, это посторонний корень.
Выполним обратную замену для $t=2$:
$\sqrt{x+1} = 2$
$x+1 = 2^2$
$x+1 = 4$
$x = 3$.
Корень $x=3$ удовлетворяет ОДЗ ($3 \ge -1$).
Ответ: $3$.