Номер 50, страница 10, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

50. a) $x(x+7)(3-6x) \ge 0$;

б) $(2x-1)(4-12x)(x+9) < 0$.

а)

Для решения неравенства $x(x + 7)(3 - 6x) \geq 0$ воспользуемся методом интервалов.

1. Сначала найдем корни соответствующего уравнения $x(x + 7)(3 - 6x) = 0$. Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю:

$x_1 = 0$

$x + 7 = 0 \Rightarrow x_2 = -7$

$3 - 6x = 0 \Rightarrow 6x = 3 \Rightarrow x_3 = \frac{3}{6} = 0.5$

2. Отметим полученные корни на числовой оси. Поскольку неравенство нестрогое ($\geq$), точки будут закрашенными, то есть они включаются в решение. Расположим точки в порядке возрастания: $-7$, $0$, $0.5$.

3. Эти точки разбивают числовую ось на четыре интервала: $(-\infty, -7]$, $[-7, 0]$, $[0, 0.5]$ и $[0.5, +\infty)$.

4. Определим знак выражения $x(x + 7)(3 - 6x)$ на каждом из интервалов. Для этого возьмем по одной пробной точке из каждого интервала:

- При $x = 1$ (интервал $[0.5, +\infty)$): $1 \cdot (1+7) \cdot (3 - 6 \cdot 1) = 8 \cdot (-3) = -24$. Знак «-».

- При $x = 0.1$ (интервал $[0, 0.5]$): $0.1 \cdot (0.1+7) \cdot (3 - 6 \cdot 0.1) = 0.1 \cdot 7.1 \cdot 2.4 > 0$. Знак «+».

- При $x = -1$ (интервал $[-7, 0]$): $-1 \cdot (-1+7) \cdot (3 - 6 \cdot (-1)) = -1 \cdot 6 \cdot 9 = -54$. Знак «-».

- При $x = -10$ (интервал $(-\infty, -7]$): $-10 \cdot (-10+7) \cdot (3 - 6 \cdot (-10)) = -10 \cdot (-3) \cdot 63 > 0$. Знак «+».

5. Согласно условию $x(x + 7)(3 - 6x) \geq 0$, нам нужны интервалы со знаком «+», а также точки, в которых выражение равно нулю.

Таким образом, решением являются промежутки $(-\infty, -7]$ и $[0, 0.5]$.

Ответ: $x \in (-\infty, -7] \cup [0, 0.5]$.

б)

Решим неравенство $(2x - 1)(4 - 12x)(x + 9) < 0$ методом интервалов.

1. Для удобства дальнейших вычислений преобразуем неравенство так, чтобы коэффициент при переменной $x$ в каждом множителе был положительным. Для этого вынесем $-1$ за скобки из выражения $(4 - 12x)$:

$(2x - 1) \cdot (-1) \cdot (12x - 4) \cdot (x + 9) < 0$

Теперь умножим обе части неравенства на $-1$. При умножении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный:

$(2x - 1)(12x - 4)(x + 9) > 0$

2. Найдем корни соответствующего уравнения $(2x - 1)(12x - 4)(x + 9) = 0$:

$2x - 1 = 0 \Rightarrow 2x = 1 \Rightarrow x_1 = \frac{1}{2} = 0.5$

$12x - 4 = 0 \Rightarrow 12x = 4 \Rightarrow x_2 = \frac{4}{12} = \frac{1}{3}$

$x + 9 = 0 \Rightarrow x_3 = -9$

3. Отметим корни на числовой оси. Неравенство строгое ($>$), поэтому точки будут выколотыми, то есть не будут входить в решение. Расположим точки в порядке возрастания: $-9$, $\frac{1}{3}$, $0.5$.

4. Точки разбивают ось на четыре интервала: $(-\infty, -9)$, $(-9, \frac{1}{3})$, $(\frac{1}{3}, 0.5)$ и $(0.5, +\infty)$.

5. Определим знаки выражения $(2x - 1)(12x - 4)(x + 9)$ на интервалах. Так как все коэффициенты при $x$ положительны, в крайнем правом интервале $(0.5, +\infty)$ выражение будет иметь знак «+». Так как все корни имеют кратность 1, знаки на интервалах будут чередоваться.

Знаки на интервалах (справа налево): «+», «-», «+», «-».

6. Нам нужно найти решения неравенства $(2x - 1)(12x - 4)(x + 9) > 0$, то есть выбрать интервалы со знаком «+».

Это интервалы $(-9, \frac{1}{3})$ и $(0.5, +\infty)$.

Ответ: $x \in (-9, \frac{1}{3}) \cup (0.5, +\infty)$.