Номер 56, страница 10, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

56. Автобус-экспресс отправился от автовокзала в аэропорт, находящийся от автовокзала на расстоянии 40 км. Через 10 мин вслед за автобусом выехал пассажир на такси. Скорость такси на 20 км/ч больше скорости автобуса. Найдите скорость такси и скорость автобуса, если в аэропорт они прибыли одновременно.

Для решения задачи составим уравнение. Пусть скорость автобуса-экспресса равна $x$ км/ч. Согласно условию, скорость такси на 20 км/ч больше, следовательно, она равна $(x + 20)$ км/ч.

Расстояние, которое необходимо проехать, составляет 40 км. Время, которое затратил на этот путь автобус, можно выразить с помощью формулы $t = \frac{S}{v}$ как $t_{автобуса} = \frac{40}{x}$ часов.

Аналогично, время, которое затратило на этот же путь такси, составляет $t_{такси} = \frac{40}{x+20}$ часов.

В условии сказано, что такси выехало на 10 минут позже автобуса и прибыло в аэропорт одновременно с ним. Это означает, что время, которое такси находилось в пути, на 10 минут меньше, чем время автобуса. Для составления уравнения необходимо перевести минуты в часы:

$10 \text{ мин} = \frac{10}{60} \text{ ч} = \frac{1}{6} \text{ ч}$

Теперь можно составить уравнение, выражающее разницу во времени:

$t_{автобуса} - t_{такси} = \frac{1}{6}$

Подставим выражения для времени в уравнение:

$\frac{40}{x} - \frac{40}{x+20} = \frac{1}{6}$

Чтобы решить это уравнение, приведем дроби в левой части к общему знаменателю $x(x+20)$:

$\frac{40(x+20) - 40x}{x(x+20)} = \frac{1}{6}$

Раскроем скобки в числителе и упростим выражение:

$\frac{40x + 800 - 40x}{x^2 + 20x} = \frac{1}{6}$

$\frac{800}{x^2 + 20x} = \frac{1}{6}$

Используем основное свойство пропорции (произведение крайних членов равно произведению средних):

$1 \cdot (x^2 + 20x) = 800 \cdot 6$

$x^2 + 20x = 4800$

Перенесем все члены уравнения в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$x^2 + 20x - 4800 = 0$

Решим полученное уравнение через дискриминант ($D = b^2 - 4ac$):

$D = 20^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4800) = 400 + 19200 = 19600$

Теперь найдем корни уравнения по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_{1,2} = \frac{-20 \pm \sqrt{19600}}{2 \cdot 1} = \frac{-20 \pm 140}{2}$

Вычислим оба корня:

$x_1 = \frac{-20 + 140}{2} = \frac{120}{2} = 60$

$x_2 = \frac{-20 - 140}{2} = \frac{-160}{2} = -80$

Поскольку скорость не может быть отрицательной величиной, корень $x_2 = -80$ не является решением задачи. Таким образом, скорость автобуса-экспресса $x$ равна 60 км/ч.

Найдем скорость такси:

$x + 20 = 60 + 20 = 80$ км/ч.

Ответ: скорость автобуса — 60 км/ч, скорость такси — 80 км/ч.