Номер 59, страница 11, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

59. Расстояние между городами равно 44 км. Из этих городов навстречу друг другу выходят одновременно два пешехода и встречаются через 4 ч. Если бы первый вышел на 44 мин раньше второго, то их встреча произошла бы в середине пути. С какой скоростью идёт каждый пешеход?

Пусть $v_1$ — скорость первого пешехода (в км/ч), а $v_2$ — скорость второго пешехода (в км/ч).

Из первого условия задачи известно, что расстояние между городами равно 44 км. Два пешехода выходят навстречу друг другу одновременно и встречаются через 4 часа. Когда пешеходы движутся навстречу друг другу, их скорости складываются. Скорость сближения равна $v_{сбл} = v_1 + v_2$. За время $t = 4$ ч они совместно преодолевают расстояние $S = 44$ км.

Составим первое уравнение, используя формулу пути $S = v \cdot t$:
$(v_1 + v_2) \cdot 4 = 44$
Разделив обе части на 4, получим:
$v_1 + v_2 = 11$

Из второго условия известно, что если бы первый пешеход вышел на 44 минуты раньше второго, их встреча произошла бы в середине пути. Середина пути находится на расстоянии $S/2 = 44/2 = 22$ км от каждого города. Это означает, что к моменту встречи каждый пешеход прошел бы по 22 км.

Время, которое затратил бы первый пешеход на свой путь, равно $t_1 = \frac{22}{v_1}$.
Время, которое затратил бы второй пешеход, равно $t_2 = \frac{22}{v_2}$.

Первый пешеход вышел на 44 минуты раньше, значит, он был в пути дольше. Переведем 44 минуты в часы: $44 \text{ мин} = \frac{44}{60} \text{ ч} = \frac{11}{15} \text{ ч}$.
Разница во времени составляет $t_1 - t_2 = \frac{11}{15}$ ч.

Составим второе уравнение:
$\frac{22}{v_1} - \frac{22}{v_2} = \frac{11}{15}$

Теперь у нас есть система из двух уравнений с двумя неизвестными:
$\begin{cases} v_1 + v_2 = 11 \\ \frac{22}{v_1} - \frac{22}{v_2} = \frac{11}{15} \end{cases}$

Из первого уравнения выразим $v_2$: $v_2 = 11 - v_1$.
Подставим это выражение во второе уравнение:
$\frac{22}{v_1} - \frac{22}{11 - v_1} = \frac{11}{15}$

Чтобы упростить уравнение, разделим все его члены на 11:
$\frac{2}{v_1} - \frac{2}{11 - v_1} = \frac{1}{15}$

Приведем левую часть к общему знаменателю $v_1(11 - v_1)$:
$\frac{2(11 - v_1) - 2v_1}{v_1(11 - v_1)} = \frac{1}{15}$
$\frac{22 - 2v_1 - 2v_1}{11v_1 - v_1^2} = \frac{1}{15}$
$\frac{22 - 4v_1}{11v_1 - v_1^2} = \frac{1}{15}$

Воспользуемся свойством пропорции (перекрестное умножение):
$15 \cdot (22 - 4v_1) = 1 \cdot (11v_1 - v_1^2)$
$330 - 60v_1 = 11v_1 - v_1^2$

Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:
$v_1^2 - 11v_1 - 60v_1 + 330 = 0$
$v_1^2 - 71v_1 + 330 = 0$

Решим это уравнение с помощью дискриминанта ($D = b^2 - 4ac$):
$D = (-71)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 330 = 5041 - 1320 = 3721$
Корень из дискриминанта: $\sqrt{3721} = 61$.

Находим возможные значения для $v_1$:
$v_{1,1} = \frac{71 + 61}{2} = \frac{132}{2} = 66$
$v_{1,2} = \frac{71 - 61}{2} = \frac{10}{2} = 5$

Рассмотрим каждый корень:
1. Если $v_1 = 66$ км/ч, то скорость второго пешехода $v_2 = 11 - 66 = -55$ км/ч. Скорость не может быть отрицательной, следовательно, этот корень не подходит по смыслу задачи.
2. Если $v_1 = 5$ км/ч, то скорость второго пешехода $v_2 = 11 - 5 = 6$ км/ч. Оба значения положительны и являются решением.

Таким образом, скорость первого пешехода составляет 5 км/ч, а второго — 6 км/ч.

Ответ: скорость одного пешехода 5 км/ч, а другого 6 км/ч.