Номер 66, страница 12, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

66. От пристани $A$ до пристани $B$, расстояние между которыми 10 км, вниз по течению реки отправился плот. Через некоторое время вслед за ним отправился катер, который догнал плот через 15 мин и тут же, не меняя своей скорости, повернул обратно. Известно, что плот причалил к пристани $B$ на 54 мин позже, чем катер к пристани $A$. Найдите собственную скорость катера и время движения плота до момента начала движения катера от пристани $A$, если скорость течения реки 2 км/ч, а собственная скорость движения катера больше 10 км/ч.

Для решения задачи введем следующие обозначения:

• $v_k$ – собственная скорость катера в км/ч.
• $v_t$ – скорость течения реки в км/ч. По условию, $v_t = 2$ км/ч. Скорость плота равна скорости течения.
• $t_0$ – время (в часах), которое плот двигался до момента отправления катера.
• $S$ – расстояние между пристанями А и В. По условию, $S = 10$ км.

Переведем минуты в часы для удобства расчетов:

• Время, за которое катер догнал плот: 15 мин = $15/60$ ч = $1/4$ ч.
• Разница во времени прибытия: 54 мин = $54/60$ ч = $9/10$ ч.

Решение задачи разобьем на несколько этапов.

1. Составление первого уравнения (момент встречи)

Плот отправился из пункта А и двигался в течение времени $t_0$ до старта катера. Катер догнал плот через $1/4$ часа после своего старта. К моменту встречи плот находился в пути $t_0 + 1/4$ часа, а катер – $1/4$ часа.

Скорость плота равна скорости течения: $v_п = v_t = 2$ км/ч.

Скорость катера по течению: $v_{k \text{ по теч.}} = v_k + v_t = v_k + 2$ км/ч.

К моменту встречи они прошли одинаковое расстояние от пристани А. Обозначим это расстояние $S_1$.

Расстояние, пройденное плотом: $S_1 = v_п \cdot (t_0 + 1/4) = 2(t_0 + 1/4)$.

Расстояние, пройденное катером: $S_1 = (v_k + 2) \cdot 1/4$.

Приравняем выражения для $S_1$:

$2(t_0 + 1/4) = (v_k + 2) \cdot 1/4$

$2t_0 + 1/2 = (v_k + 2)/4$

Умножим обе части на 4:

$8t_0 + 2 = v_k + 2$

$v_k = 8t_0$

Из этого соотношения можно выразить $t_0$ через $v_k$: $t_0 = v_k / 8$.

2. Составление второго уравнения (время прибытия)

Общее время движения плота от пристани А до пристани В:

$T_п = S / v_п = 10 / 2 = 5$ часов.

Теперь рассчитаем общее время, прошедшее с момента старта плота до момента возвращения катера на пристань А. Это время ($T_k$) складывается из времени $t_0$, времени движения катера до встречи ($1/4$ ч) и времени его возвращения на пристань А ($t_{возвр}$).

Расстояние от А до места встречи: $S_1 = (v_k + 2)/4$.

Скорость катера против течения: $v_{k \text{ пр. теч.}} = v_k - v_t = v_k - 2$ км/ч. (По условию $v_k > 10$, так что $v_k-2>0$).

Время возвращения катера: $t_{возвр} = S_1 / (v_k - 2) = \frac{(v_k + 2)/4}{v_k - 2} = \frac{v_k + 2}{4(v_k - 2)}$ ч.

Общее время для катера с момента старта плота:

$T_k = t_0 + 1/4 + t_{возвр} = \frac{v_k}{8} + \frac{1}{4} + \frac{v_k + 2}{4(v_k - 2)}$

По условию, плот причалил к пристани В на 54 минуты ($9/10$ ч) позже, чем катер вернулся к пристани А. Это означает:

$T_п = T_k + 9/10$

$5 = T_k + 9/10$

$T_k = 5 - 9/10 = 50/10 - 9/10 = 41/10$ ч.

3. Решение системы уравнений

Подставим выражение для $T_k$ в полученное равенство:

$\frac{v_k}{8} + \frac{1}{4} + \frac{v_k + 2}{4(v_k - 2)} = \frac{41}{10}$

Для упрощения можно сначала объединить все слагаемые с $v_k$. Приведем к общему знаменателю $8(v_k-2)$ левую часть:

$T_k = \frac{v_k(v_k-2)}{8(v_k-2)} + \frac{2(v_k-2)}{8(v_k-2)} + \frac{2(v_k+2)}{8(v_k-2)} = \frac{v_k^2 - 2v_k + 2v_k - 4 + 2v_k + 4}{8(v_k-2)} = \frac{v_k^2 + 2v_k}{8(v_k-2)}$

Теперь приравняем это выражение к $41/10$:

$\frac{v_k^2 + 2v_k}{8(v_k - 2)} = \frac{41}{10}$

Используем свойство пропорции:

$10(v_k^2 + 2v_k) = 41 \cdot 8(v_k - 2)$

$10v_k^2 + 20v_k = 328(v_k - 2)$

$10v_k^2 + 20v_k = 328v_k - 656$

$10v_k^2 - 308v_k + 656 = 0$

Разделим уравнение на 2 для упрощения:

$5v_k^2 - 154v_k + 328 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Найдем дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-154)^2 - 4 \cdot 5 \cdot 328 = 23716 - 6560 = 17156$

Найдем корни уравнения:

$v_k = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{154 \pm \sqrt{17156}}{2 \cdot 5} = \frac{154 \pm \sqrt{17156}}{10}$

По условию, собственная скорость катера больше 10 км/ч. Проверим оба корня.

Так как $130^2 = 16900$ и $131^2 = 17161$, то $\sqrt{17156}$ — это число, очень близкое к 131.

$v_{k1} = \frac{154 + \sqrt{17156}}{10} \approx \frac{154 + 130.98}{10} \approx 28.5$ км/ч. Этот корень удовлетворяет условию $v_k > 10$.

$v_{k2} = \frac{154 - \sqrt{17156}}{10} \approx \frac{154 - 130.98}{10} \approx 2.3$ км/ч. Этот корень не удовлетворяет условию $v_k > 10$.

Следовательно, единственным подходящим решением является $v_{k1}$. Запишем точное значение:

$v_k = \frac{154 + \sqrt{17156}}{10} = \frac{77 + \sqrt{4289}}{5}$ км/ч.

Теперь найдем время движения плота до начала движения катера $t_0$:

$t_0 = \frac{v_k}{8} = \frac{1}{8} \cdot \frac{77 + \sqrt{4289}}{5} = \frac{77 + \sqrt{4289}}{40}$ часов.

Можно перевести это время в минуты: $t_0 = \frac{77 + \sqrt{4289}}{40} \cdot 60 = \frac{3(77 + \sqrt{4289})}{2}$ минут.

Ответ:

Собственная скорость катера: $v_k = \frac{77 + \sqrt{4289}}{5}$ км/ч.

Время движения плота до момента начала движения катера: $t_0 = \frac{77 + \sqrt{4289}}{40}$ ч (или $\frac{3(77 + \sqrt{4289})}{2}$ минут).