Номер 72, страница 13, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

72. Два экскаватора, работая одновременно, выполнят некоторый объём земляных работ за 3 ч 45 мин. Один экскаватор, работая отдельно, может выполнить этот объём работ на 4 ч быстрее, чем другой. Сколько времени требуется каждому экскаватору в отдельности для выполнения того же объёма земляных работ?

Примем весь объём земляных работ за 1.

Пусть $t$ часов — это время, за которое более быстрый экскаватор выполнит всю работу в одиночку. Тогда его производительность (часть работы, выполняемая за час) составляет $\frac{1}{t}$.

Согласно условию, второй экскаватор выполняет эту же работу на 4 часа дольше. Следовательно, его время работы составляет $(t + 4)$ часов, а его производительность — $\frac{1}{t+4}$.

Два экскаватора, работая одновременно, выполняют работу за 3 часа 45 минут. Переведём это время в часы для удобства расчетов:

$3 \text{ ч } 45 \text{ мин} = 3 + \frac{45}{60} \text{ ч} = 3 + \frac{3}{4} \text{ ч} = \frac{12}{4} + \frac{3}{4} = \frac{15}{4}$ часа.

Общая производительность двух экскаваторов при совместной работе равна сумме их индивидуальных производительностей:

$P_{общ} = \frac{1}{t} + \frac{1}{t+4}$

С другой стороны, общая производительность — это работа, делённая на время совместной работы:

$P_{общ} = \frac{1}{15/4} = \frac{4}{15}$

Теперь мы можем составить уравнение, приравняв два выражения для общей производительности:

$\frac{1}{t} + \frac{1}{t+4} = \frac{4}{15}$

Для решения этого уравнения приведём дроби в левой части к общему знаменателю $t(t+4)$:

$\frac{(t+4) + t}{t(t+4)} = \frac{4}{15}$

$\frac{2t+4}{t^2+4t} = \frac{4}{15}$

Воспользуемся свойством пропорции (перекрёстное умножение):

$15 \cdot (2t+4) = 4 \cdot (t^2+4t)$

$30t + 60 = 4t^2 + 16t$

Перенесём все слагаемые в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$4t^2 + 16t - 30t - 60 = 0$

$4t^2 - 14t - 60 = 0$

Для упрощения расчетов разделим все члены уравнения на 2:

$2t^2 - 7t - 30 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-7)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-30) = 49 + 240 = 289$

Корень из дискриминанта: $\sqrt{D} = \sqrt{289} = 17$.

Теперь найдём корни уравнения по формуле $t = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$t_1 = \frac{-(-7) + 17}{2 \cdot 2} = \frac{7+17}{4} = \frac{24}{4} = 6$

$t_2 = \frac{-(-7) - 17}{2 \cdot 2} = \frac{7-17}{4} = \frac{-10}{4} = -2.5$

Поскольку время $t$ не может быть отрицательной величиной, корень $t_2 = -2.5$ не имеет физического смысла и не является решением задачи. Следовательно, время работы первого (более быстрого) экскаватора составляет 6 часов.

Время работы второго экскаватора на 4 часа больше:

$t + 4 = 6 + 4 = 10$ часов.

Ответ: одному экскаватору требуется 6 часов, а другому — 10 часов для выполнения того же объёма земляных работ.