Номер 73, страница 13, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

73. Два тракториста, работая совместно, вспахали поле за 48 ч. Если бы половину поля вспахал один из них, а затем оставшуюся половину другой, то работа была бы выполнена за 100 ч. За сколько часов мог бы вспахать поле каждый тракторист, работая отдельно?

Примем всю работу по вспашке поля за 1.

Пусть $t_1$ — время в часах, за которое первый тракторист может вспахать все поле, работая в одиночку, а $t_2$ — время в часах, за которое второй тракторист может вспахать все поле самостоятельно.

Тогда производительность (скорость работы) первого тракториста равна $v_1 = \frac{1}{t_1}$ поля/час, а производительность второго — $v_2 = \frac{1}{t_2}$ поля/час.

Из первого условия, работая вместе, они вспахали поле за 48 часов. Их совместная производительность составляет $v_1 + v_2$. Таким образом, мы можем составить первое уравнение, используя формулу Работа = Производительность ? Время:

$(v_1 + v_2) \cdot 48 = 1$

Подставив выражения для производительностей, получаем:

$(\frac{1}{t_1} + \frac{1}{t_2}) \cdot 48 = 1 \implies \frac{1}{t_1} + \frac{1}{t_2} = \frac{1}{48}$

Из второго условия, если один вспашет половину поля (работа равна $\frac{1}{2}$), а затем второй — оставшуюся половину (работа также равна $\frac{1}{2}$), то общее время составит 100 часов. Время, которое первый тракторист потратит на половину поля, равно $\frac{1/2}{v_1} = \frac{1/2}{1/t_1} = \frac{t_1}{2}$. Время, которое второй тракторист потратит на вторую половину поля, равно $\frac{1/2}{v_2} = \frac{t_2}{2}$.

Составляем второе уравнение:

$\frac{t_1}{2} + \frac{t_2}{2} = 100$

Умножим обе части этого уравнения на 2:

$t_1 + t_2 = 200$

Теперь мы имеем систему из двух уравнений с двумя неизвестными:

$\begin{cases} \frac{1}{t_1} + \frac{1}{t_2} = \frac{1}{48} \\ t_1 + t_2 = 200 \end{cases}$

Выразим $t_2$ из второго уравнения: $t_2 = 200 - t_1$.

Подставим это выражение в первое уравнение системы:

$\frac{1}{t_1} + \frac{1}{200 - t_1} = \frac{1}{48}$

Приведем левую часть к общему знаменателю:

$\frac{(200 - t_1) + t_1}{t_1(200 - t_1)} = \frac{1}{48}$

$\frac{200}{200t_1 - t_1^2} = \frac{1}{48}$

Используя свойство пропорции, получаем:

$200 \cdot 48 = 1 \cdot (200t_1 - t_1^2)$

$9600 = 200t_1 - t_1^2$

Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$t_1^2 - 200t_1 + 9600 = 0$

Решим это уравнение. Найдем дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-200)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 9600 = 40000 - 38400 = 1600$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два корня. Найдем их:

$t_1 = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{200 \pm \sqrt{1600}}{2 \cdot 1} = \frac{200 \pm 40}{2}$

$t_{1,1} = \frac{200 + 40}{2} = \frac{240}{2} = 120$

$t_{1,2} = \frac{200 - 40}{2} = \frac{160}{2} = 80$

Теперь найдем соответствующие значения для $t_2$ с помощью соотношения $t_2 = 200 - t_1$:

1. Если $t_1 = 120$, то $t_2 = 200 - 120 = 80$.

2. Если $t_1 = 80$, то $t_2 = 200 - 80 = 120$.

В обоих случаях мы получаем одну и ту же пару времен. Это означает, что один тракторист может вспахать поле за 80 часов, а другой — за 120 часов.

Ответ: один тракторист мог бы вспахать поле за 80 часов, а другой — за 120 часов.