Номер 70, страница 12, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

70. Аквариум объёмом $54 \text{ м}^3$ заполняется при помощи двух кранов. При этом первый кран работает $3 \text{ ч}$, а второй — $2 \text{ ч}$. Какова пропускная способность первого крана, если $1 \text{ м}^3$ он заполняет на $1 \text{ мин}$ медленнее, чем второй?

Пусть $x$ – время в минутах, за которое второй кран заполняет объём 1 м?. Согласно условию задачи, первый кран заполняет 1 м? на 1 минуту медленнее, чем второй. Следовательно, время, которое требуется первому крану для заполнения 1 м?, составляет $x+1$ минут.

Пропускная способность (производительность) крана – это объём воды, который он пропускает за единицу времени. Она является величиной, обратной времени, затраченному на заполнение единицы объёма.

• Пропускная способность первого крана: $P_1 = \frac{1}{x+1}$ м?/мин.
• Пропускная способность второго крана: $P_2 = \frac{1}{x}$ м?/мин.

Общий объём аквариума, который нужно заполнить, равен 54 м?. Первый кран работает 3 часа, а второй – 2 часа. Переведём время работы кранов в минуты, чтобы единицы измерения были согласованы:

• Время работы первого крана: $t_1 = 3 \text{ ч} = 3 \times 60 = 180$ мин.
• Время работы второго крана: $t_2 = 2 \text{ ч} = 2 \times 60 = 120$ мин.

Суммарный объём воды, поступившей от двух кранов за указанное время, равен объёму аквариума. На основе этого можно составить уравнение:$V_{общий} = P_1 \times t_1 + P_2 \times t_2$$54 = \frac{1}{x+1} \times 180 + \frac{1}{x} \times 120$

Получили уравнение:$54 = \frac{180}{x+1} + \frac{120}{x}$

Для упрощения расчётов разделим обе части уравнения на их общий делитель, равный 6:$9 = \frac{30}{x+1} + \frac{20}{x}$

Чтобы избавиться от дробей, умножим обе части уравнения на общий знаменатель $x(x+1)$, при условии, что $x \neq 0$ и $x \neq -1$:$9x(x+1) = 30x + 20(x+1)$$9x^2 + 9x = 30x + 20x + 20$$9x^2 + 9x = 50x + 20$

Приведём уравнение к стандартному квадратному виду $ax^2 + bx + c = 0$:$9x^2 + 9x - 50x - 20 = 0$$9x^2 - 41x - 20 = 0$

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:$D = (-41)^2 - 4 \cdot 9 \cdot (-20) = 1681 + 720 = 2401$Корень из дискриминанта: $\sqrt{D} = \sqrt{2401} = 49$.

Теперь найдём корни уравнения по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:$x_1 = \frac{41 + 49}{2 \cdot 9} = \frac{90}{18} = 5$$x_2 = \frac{41 - 49}{2 \cdot 9} = \frac{-8}{18} = -\frac{4}{9}$

Поскольку $x$ представляет собой время, эта величина не может быть отрицательной. Следовательно, корень $x_2 = -4/9$ не имеет физического смысла в данной задаче. Единственным решением является $x=5$.

Итак, время заполнения 1 м? для второго крана составляет 5 минут. Тогда для первого крана это время равно $x+1 = 5+1 = 6$ минут.

Пропускная способность первого крана равна:$P_1 = \frac{1 \text{ м}^3}{6 \text{ мин}} = \frac{1}{6}$ м?/мин.

Обычно пропускную способность указывают в кубических метрах в час (м?/час). Переведём полученное значение, зная, что 1 час = 60 минут:$P_1 = \frac{1}{6} \frac{\text{м}^3}{\text{мин}} = \frac{1}{6} \frac{\text{м}^3}{(1/60) \text{ час}} = \frac{60}{6} \frac{\text{м}^3}{\text{час}} = 10$ м?/час.

Ответ: 10 м?/час.