Номер 67, страница 12, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

67. Колонне автомашин было дано задание перевезти со склада в речной порт 60 т груза. В связи с неблагоприятной погодой на каждую машину пришлось грузить на 0,5 т меньше, чем предполагалось, и поэтому колонну дополнили ещё четырьмя машинами. Сколько машин было в колонне первоначально?

Для решения задачи введем переменные. Пусть $x$ — это первоначальное количество машин в колонне, а $y$ — это предполагаемая грузоподъемность одной машины в тоннах.

Согласно условию, колонна из $x$ машин должна была перевезти 60 тонн груза. Математически это можно записать в виде первого уравнения:
$x \cdot y = 60$

В связи с неблагоприятной погодой, фактическая загрузка каждой машины уменьшилась на 0,5 тонны и составила $(y - 0.5)$ тонны. Чтобы выполнить план по перевозке, количество машин пришлось увеличить на 4, и оно стало равно $(x + 4)$. Так как общий вес перевезенного груза остался прежним (60 тонн), мы можем составить второе уравнение:
$(x + 4)(y - 0.5) = 60$

Теперь у нас есть система из двух уравнений с двумя неизвестными:
$xy = 60$
$(x + 4)(y - 0.5) = 60$

Из первого уравнения выразим $y$ через $x$:
$y = \frac{60}{x}$

Подставим это выражение для $y$ во второе уравнение:
$(x + 4)(\frac{60}{x} - 0.5) = 60$

Теперь решим это уравнение относительно $x$. Раскроем скобки в левой части:
$x \cdot \frac{60}{x} - x \cdot 0.5 + 4 \cdot \frac{60}{x} - 4 \cdot 0.5 = 60$
$60 - 0.5x + \frac{240}{x} - 2 = 60$

Приведем подобные слагаемые:
$58 - 0.5x + \frac{240}{x} = 60$

Перенесем все члены в левую часть, чтобы справа остался ноль:
$58 - 60 - 0.5x + \frac{240}{x} = 0$
$-2 - 0.5x + \frac{240}{x} = 0$

Умножим обе части уравнения на $x$, чтобы избавиться от знаменателя (мы можем это сделать, так как $x$, количество машин, не может быть равно нулю):
$-2x - 0.5x^2 + 240 = 0$

Для удобства решения умножим уравнение на -2 и расположим члены в стандартном порядке для квадратного уравнения:
$x^2 + 4x - 480 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение с помощью дискриминанта. Формула дискриминанта: $D = b^2 - 4ac$.
$D = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-480) = 16 + 1920 = 1936$

Найдем корни уравнения по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:
$x_{1,2} = \frac{-4 \pm \sqrt{1936}}{2 \cdot 1} = \frac{-4 \pm 44}{2}$

Вычисляем два возможных значения для $x$:
$x_1 = \frac{-4 + 44}{2} = \frac{40}{2} = 20$
$x_2 = \frac{-4 - 44}{2} = \frac{-48}{2} = -24$

Так как $x$ обозначает количество машин, это значение не может быть отрицательным. Поэтому корень $x_2 = -24$ не имеет физического смысла в контексте данной задачи. Единственным подходящим решением является $x_1 = 20$.

Таким образом, первоначально в колонне было 20 машин.

Ответ: 20.