Номер 61, страница 11, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

61. Два парохода одновременно вышли из порта: один на север, другой на восток. Через 2 ч расстояние между ними оказалось равным 60 км. Найдите скорость каждого парохода, зная, что скорость одного из них на 6 км/ч больше скорости другого.

Пусть скорость одного парохода равна $v$ км/ч. Тогда скорость второго парохода, согласно условию, равна $(v + 6)$ км/ч.

За 2 часа первый пароход пройдет расстояние $S_1 = v \cdot 2 = 2v$ км.

За 2 часа второй пароход пройдет расстояние $S_2 = (v + 6) \cdot 2 = 2(v + 6)$ км.

Поскольку один пароход движется на север, а другой на восток, их пути перпендикулярны друг другу. Таким образом, точка старта (порт) и местоположения пароходов через 2 часа образуют прямоугольный треугольник. Пройденные пароходами расстояния $S_1$ и $S_2$ являются катетами этого треугольника, а расстояние между ними (60 км) — гипотенузой.

По теореме Пифагора, квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов:

$S_1^2 + S_2^2 = 60^2$

Подставим выражения для $S_1$ и $S_2$ в уравнение:

$(2v)^2 + (2(v + 6))^2 = 60^2$

Раскроем скобки и решим уравнение:

$4v^2 + 4(v + 6)^2 = 3600$

Разделим обе части уравнения на 4 для упрощения:

$v^2 + (v + 6)^2 = 900$

$v^2 + v^2 + 12v + 36 = 900$

$2v^2 + 12v + 36 - 900 = 0$

$2v^2 + 12v - 864 = 0$

Снова разделим обе части на 2:

$v^2 + 6v - 432 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

$D = b^2 - 4ac = 6^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-432) = 36 + 1728 = 1764$

$\sqrt{D} = \sqrt{1764} = 42$

Найдем корни уравнения:

$v_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-6 + 42}{2} = \frac{36}{2} = 18$

$v_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-6 - 42}{2} = \frac{-48}{2} = -24$

Скорость не может быть отрицательной, поэтому корень $v_2 = -24$ не подходит по смыслу задачи. Следовательно, скорость одного парохода равна 18 км/ч.

Найдем скорость второго парохода:

$v + 6 = 18 + 6 = 24$ км/ч.

Ответ: скорость одного парохода 18 км/ч, скорость другого парохода 24 км/ч.