Номер 65, страница 12, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

65. Два велосипедиста одновременно выехали из пункта А в одном и том же направлении. Скорость первого на $2 \text{ км/ч}$ больше скорости второго. Через 12 мин первый велосипедист остановился на 6 мин, чтобы устранить неисправность, и, возобновив движение, догнал второго велосипедиста на расстоянии 14 км от места своей остановки. Определите скорость велосипедистов.

Пусть скорость второго велосипедиста равна $x$ км/ч. Тогда скорость первого велосипедиста, согласно условию, равна $x + 2$ км/ч.

Переведем единицы времени из минут в часы для удобства расчетов:
12 мин = $\frac{12}{60}$ ч = 0,2 ч.
6 мин = $\frac{6}{60}$ ч = 0,1 ч.

Рассмотрим движение поэтапно.
1. Первые 12 минут (0,2 часа) движения.
За это время первый велосипедист проехал расстояние $S_1 = v_1 \cdot t_1 = (x+2) \cdot 0,2$ км. После этого он остановился.
Второй велосипедист за это же время проехал $S_2 = v_2 \cdot t_1 = x \cdot 0,2$ км.

2. Остановка первого велосипедиста на 6 минут (0,1 часа).
В то время как первый велосипедист стоял, второй продолжал движение и проехал еще $x \cdot 0,1$ км.
К моменту, когда первый велосипедист возобновил движение, второй находился на расстоянии от пункта А, равном $x \cdot 0,2 + x \cdot 0,1 = 0,3x$ км.
Первый велосипедист находился в точке своей остановки на расстоянии $0,2(x+2)$ км от пункта А.
Таким образом, второй велосипедист опередил первого на расстояние:
$\Delta S = 0,3x - 0,2(x+2) = 0,3x - 0,2x - 0,4 = 0,1x - 0,4$ км.

3. Движение после остановки.
Первый велосипедист возобновил движение и догнал второго, проехав 14 км.
Время, которое он затратил, чтобы проехать эти 14 км, равно $t_{погони} = \frac{14}{v_1} = \frac{14}{x+2}$ ч.
За это же время второй велосипедист проехал расстояние $S_{2,погоня} = v_2 \cdot t_{погони} = x \cdot \frac{14}{x+2}$ км.

В момент встречи первый велосипедист догнал второго. Это означает, что за время погони он сократил первоначальное отставание $\Delta S$. Расстояние, на которое первый велосипедист приближается ко второму за час (скорость сближения), равно разности их скоростей: $v_1 - v_2 = (x+2) - x = 2$ км/ч.
Следовательно, первоначальное расстояние между ними можно выразить как:
$\Delta S = (\text{скорость сближения}) \cdot t_{погони}$
Подставим известные нам выражения:
$0,1x - 0,4 = 2 \cdot \frac{14}{x+2}$

Теперь решим полученное уравнение:
$0,1x - 0,4 = \frac{28}{x+2}$
Умножим обе части уравнения на 10, чтобы избавиться от десятичных дробей:
$x - 4 = \frac{280}{x+2}$
Умножим обе части на $(x+2)$, предполагая, что $x+2 \neq 0$ (скорость не может быть -2):
$(x - 4)(x + 2) = 280$
$x^2 + 2x - 4x - 8 = 280$
$x^2 - 2x - 288 = 0$

Это квадратное уравнение. Найдем его корни с помощью дискриминанта:
$D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-288) = 4 + 1152 = 1156$
$\sqrt{D} = \sqrt{1156} = 34$
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 + 34}{2} = \frac{36}{2} = 18$
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 - 34}{2} = \frac{-32}{2} = -16$

Поскольку скорость не может быть отрицательной, принимаем значение $x = 18$.
Таким образом, скорость второго велосипедиста равна 18 км/ч.
Скорость первого велосипедиста равна $x + 2 = 18 + 2 = 20$ км/ч.

Ответ: скорость первого велосипедиста — 20 км/ч, скорость второго велосипедиста — 18 км/ч.