Номер 64, страница 11, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

64. Моторная лодка прошла 7 км по течению реки и 10 км против течения, затратив на путь по течению на 0,5 ч меньше, чем на путь против течения. Собственная скорость лодки равна 12 км/ч. Найдите скорость хода лодки против течения.

Пусть $x$ км/ч — скорость течения реки. Тогда скорость лодки по течению реки равна $(12 + x)$ км/ч, а скорость лодки против течения реки равна $(12 - x)$ км/ч.

Время, которое лодка затратила на путь по течению, составляет: $t_1 = \frac{S_1}{v_{по~течению}} = \frac{7}{12 + x}$ ч.

Время, которое лодка затратила на путь против течения, составляет: $t_2 = \frac{S_2}{v_{против~течения}} = \frac{10}{12 - x}$ ч.

Из условия задачи известно, что на путь по течению было затрачено на 0,5 часа меньше, чем на путь против течения. Составим уравнение:

$t_2 - t_1 = 0,5$

$\frac{10}{12 - x} - \frac{7}{12 + x} = 0,5$

Для решения уравнения приведем дроби в левой части к общему знаменателю $(12 - x)(12 + x) = 144 - x^2$. Ограничения: $x \neq 12$ и $x \neq -12$. Так как $x$ - это скорость течения, она должна быть положительной и меньше собственной скорости лодки, то есть $0 < x < 12$.

$\frac{10(12 + x) - 7(12 - x)}{144 - x^2} = 0,5$

$\frac{120 + 10x - 84 + 7x}{144 - x^2} = 0,5$

$\frac{36 + 17x}{144 - x^2} = 0,5$

Используя свойство пропорции, получаем:

$36 + 17x = 0,5(144 - x^2)$

$36 + 17x = 72 - 0,5x^2$

Перенесем все члены уравнения в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$0,5x^2 + 17x + 36 - 72 = 0$

$0,5x^2 + 17x - 36 = 0$

Умножим обе части уравнения на 2, чтобы избавиться от дробного коэффициента:

$x^2 + 34x - 72 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

$D = b^2 - 4ac = 34^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-72) = 1156 + 288 = 1444$

$\sqrt{D} = \sqrt{1444} = 38$

$x_1 = \frac{-34 + 38}{2 \cdot 1} = \frac{4}{2} = 2$

$x_2 = \frac{-34 - 38}{2 \cdot 1} = \frac{-72}{2} = -36$

Корень $x_2 = -36$ не подходит по смыслу задачи, так как скорость течения не может быть отрицательной. Следовательно, скорость течения реки равна $2$ км/ч.

Теперь найдем скорость хода лодки против течения:

$v_{против~течения} = 12 - x = 12 - 2 = 10$ км/ч.

Ответ: 10 км/ч.