Номер 63, страница 11, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

63. Турист проплыл на байдарке $24 \text{ км}$ по озеру и $9 \text{ км}$ против течения реки за то же время, какое понадобилось ему, чтобы проплыть по течению $45 \text{ км}$. С какой скоростью плыл турист по озеру, если скорость течения реки равна $2 \text{ км/ч}$?

Для решения задачи введем переменную. Пусть $x$ км/ч — это собственная скорость байдарки, то есть скорость, с которой турист плывет по озеру. Это и есть искомая величина.

Скорость течения реки дана и равна 2 км/ч.

Тогда скорость туриста по течению реки будет равна сумме собственной скорости и скорости течения: $(x + 2)$ км/ч.

Скорость туриста против течения реки будет равна разности собственной скорости и скорости течения: $(x - 2)$ км/ч.

Важное условие: чтобы плыть против течения, собственная скорость байдарки должна быть больше скорости течения, то есть $x > 2$.

Время движения находится по формуле $t = S/v$, где $S$ — расстояние, а $v$ — скорость.

Найдем время, которое турист затратил на первый участок пути (24 км по озеру и 9 км против течения): $t_1 = \frac{24}{x} + \frac{9}{x-2}$

Найдем время, которое турист затратил на второй участок пути (45 км по течению): $t_2 = \frac{45}{x+2}$

По условию задачи, эти два времени равны ($t_1 = t_2$). Составим и решим уравнение: $\frac{24}{x} + \frac{9}{x-2} = \frac{45}{x+2}$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы решить уравнение: $\frac{24}{x} + \frac{9}{x-2} - \frac{45}{x+2} = 0$

Приведем дроби к общему знаменателю $x(x-2)(x+2)$: $\frac{24(x-2)(x+2) + 9x(x+2) - 45x(x-2)}{x(x-2)(x+2)} = 0$

Знаменатель не может быть равен нулю, поэтому решаем уравнение для числителя, учитывая область допустимых значений $x > 2$. $24(x^2 - 4) + 9(x^2 + 2x) - 45(x^2 - 2x) = 0$

Раскроем скобки: $24x^2 - 96 + 9x^2 + 18x - 45x^2 + 90x = 0$

Приведем подобные слагаемые: $(24x^2 + 9x^2 - 45x^2) + (18x + 90x) - 96 = 0$ $-12x^2 + 108x - 96 = 0$

Разделим все уравнение на -12 для упрощения: $x^2 - 9x + 8 = 0$

Это приведенное квадратное уравнение. Решим его по теореме Виета: Сумма корней $x_1 + x_2 = 9$. Произведение корней $x_1 \cdot x_2 = 8$. Корни уравнения: $x_1 = 1$ и $x_2 = 8$.

Теперь проверим найденные корни на соответствие ранее установленному условию $x > 2$.

Корень $x_1 = 1$ не удовлетворяет условию $1 > 2$, следовательно, он является посторонним и не может быть решением задачи.

Корень $x_2 = 8$ удовлетворяет условию $8 > 2$. Следовательно, это и есть искомая скорость.

Ответ: скорость туриста по озеру равна 8 км/ч.