Номер 58, страница 11, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

58. Поезд должен был пройти 54 км. Пройдя 14 км, он был задержан у семафора на 10 мин. Увеличив после этого скорость на $10 \text{ км/ч}$, он прибыл на вокзал с опозданием на 2 мин. Найдите первоначальную скорость поезда.

Пусть $v$ км/ч — первоначальная скорость поезда.

Весь путь составляет 54 км. Поезд проехал 14 км, после чего ему осталось проехать расстояние:
$S_{ост} = 54 - 14 = 40$ км.

Поезд был задержан у семафора на 10 минут, а общее опоздание на конечную станцию составило 2 минуты. Это означает, что на оставшемся участке пути поезд смог наверстать (сократить опоздание) на:
$t_{наверст} = 10 \text{ мин} - 2 \text{ мин} = 8$ минут.

Для дальнейших расчетов переведем это время в часы:
$8 \text{ мин} = \frac{8}{60} \text{ ч} = \frac{2}{15}$ ч.

Время, которое поезд затратил бы на оставшиеся 40 км, двигаясь с первоначальной скоростью $v$, равно $t_1 = \frac{40}{v}$ ч.

После задержки поезд увеличил скорость на 10 км/ч, и его новая скорость стала $(v + 10)$ км/ч. Время, которое поезд фактически затратил на оставшиеся 40 км с новой, увеличенной скоростью, равно $t_2 = \frac{40}{v + 10}$ ч.

Разница между временем движения с первоначальной скоростью и временем движения с увеличенной скоростью на этом участке как раз и составляет те 8 минут, которые поезд наверстал. Можем составить уравнение:
$t_1 - t_2 = t_{наверст}$
$\frac{40}{v} - \frac{40}{v + 10} = \frac{2}{15}$

Теперь решим полученное уравнение. Для удобства разделим обе части уравнения на 2:
$\frac{20}{v} - \frac{20}{v + 10} = \frac{1}{15}$

Приведем дроби в левой части к общему знаменателю $v(v + 10)$:
$20 \left( \frac{1}{v} - \frac{1}{v + 10} \right) = \frac{1}{15}$
$20 \left( \frac{(v + 10) - v}{v(v + 10)} \right) = \frac{1}{15}$
$20 \left( \frac{10}{v(v + 10)} \right) = \frac{1}{15}$
$\frac{200}{v(v + 10)} = \frac{1}{15}$

По свойству пропорции получаем:
$v(v + 10) \cdot 1 = 200 \cdot 15$
$v^2 + 10v = 3000$
$v^2 + 10v - 3000 = 0$

Мы получили квадратное уравнение. Решим его через дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = 10^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3000) = 100 + 12000 = 12100$
$\sqrt{D} = \sqrt{12100} = 110$

Находим корни уравнения:
$v_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-10 + 110}{2 \cdot 1} = \frac{100}{2} = 50$
$v_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-10 - 110}{2 \cdot 1} = \frac{-120}{2} = -60$

Скорость поезда не может быть отрицательной величиной, поэтому корень $v_2 = -60$ не удовлетворяет условию задачи. Следовательно, первоначальная скорость поезда равна 50 км/ч.

Ответ: 50 км/ч.