Номер 53, страница 10, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

53. a) $\frac{x - 2}{x^2 + 2x - 8} > 0;$

б) $-\frac{x + 4}{x^2 + 6x + 8} > 0.$

a) Для решения неравенства $\frac{x-2}{x^2+2x-8} > 0$ воспользуемся методом интервалов. Сначала найдем нули числителя и знаменателя.

1. Найдем корень числителя:
$x - 2 = 0 \Rightarrow x = 2$.

2. Найдем корни знаменателя, решив квадратное уравнение $x^2+2x-8=0$.
Дискриминант $D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 4 + 32 = 36$.
Корни уравнения:
$x_1 = \frac{-2 - \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \frac{-2 - 6}{2} = -4$.
$x_2 = \frac{-2 + \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \frac{-2 + 6}{2} = 2$.
Таким образом, знаменатель можно разложить на множители: $x^2+2x-8 = (x+4)(x-2)$.

3. Перепишем неравенство, подставив разложенный знаменатель:
$\frac{x-2}{(x+4)(x-2)} > 0$.

4. Область допустимых значений (ОДЗ) переменной $x$ определяется условием, что знаменатель не равен нулю: $(x+4)(x-2) \neq 0$. Следовательно, $x \neq -4$ и $x \neq 2$. Эти точки будут выколотыми на числовой оси.

5. При условии, что $x \neq 2$, мы можем сократить дробь на $(x-2)$. Неравенство принимает вид:
$\frac{1}{x+4} > 0$.

6. Дробь, у которой числитель — положительное число (1), будет больше нуля, если ее знаменатель также будет больше нуля:
$x+4 > 0 \Rightarrow x > -4$.

7. Совместим полученное решение с ОДЗ. Мы имеем условие $x > -4$ и ограничение $x \neq 2$. Это означает, что решением являются все числа из интервала $(-4, \infty)$, кроме числа 2.

Ответ: $x \in (-4, 2) \cup (2, \infty)$.

б) Решим неравенство $-\frac{x+4}{x^2+6x+8} > 0$.

1. Умножим обе части неравенства на -1, изменив при этом знак неравенства на противоположный:
$\frac{x+4}{x^2+6x+8} < 0$.

2. Найдем нули числителя и знаменателя.
Корень числителя: $x+4=0 \Rightarrow x=-4$.

3. Найдем корни знаменателя, решив уравнение $x^2+6x+8=0$.
По теореме Виета, сумма корней равна -6, а их произведение равно 8. Легко подобрать корни: $x_1 = -4$ и $x_2 = -2$.
Знаменатель раскладывается на множители: $x^2+6x+8 = (x+4)(x+2)$.

4. Подставим разложенный знаменатель в неравенство:
$\frac{x+4}{(x+4)(x+2)} < 0$.

5. Область допустимых значений (ОДЗ): знаменатель не равен нулю, то есть $x \neq -4$ и $x \neq -2$.

6. При условии, что $x \neq -4$, сократим дробь на $(x+4)$:
$\frac{1}{x+2} < 0$.

7. Дробь с положительным числителем (1) будет меньше нуля, если ее знаменатель будет меньше нуля:
$x+2 < 0 \Rightarrow x < -2$.

8. Совместим полученное решение $x < -2$ с ОДЗ ($x \neq -4$). Решением являются все числа из интервала $(-\infty, -2)$, за исключением точки -4.

Ответ: $x \in (-\infty, -4) \cup (-4, -2)$.