Номер 52, страница 10, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

52. a) $ \frac{x^2}{x-2} \ge 0; $

б) $ \frac{x+2}{(x-4)^2} \ge 0. $

а) Решим неравенство $\frac{x^2}{x-2} \ge 0$ методом интервалов.

1. Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатель дроби не может быть равен нулю, поэтому $x-2 \neq 0$, откуда $x \neq 2$.

2. Найдем нули числителя и знаменателя. Эти точки разделят числовую ось на интервалы.
Нуль числителя: $x^2 = 0 \implies x = 0$. Поскольку $x$ находится во второй (четной) степени, знак выражения при переходе через точку $x=0$ на числовой оси меняться не будет.
Нуль знаменателя: $x-2 = 0 \implies x = 2$. Это корень первой (нечетной) степени, поэтому знак выражения будет меняться при переходе через эту точку.

3. Нанесем точки $0$ и $2$ на числовую ось. Точку $x=2$ изобразим выколотой (пустым кружком), так как она не входит в ОДЗ. Точку $x=0$ изобразим закрашенной (сплошным кружком), так как неравенство нестрогое ($\ge$), и при $x=0$ выражение обращается в ноль, что удовлетворяет условию.

4. Определим знак выражения на каждом из полученных интервалов: $(-\infty, 0)$, $(0, 2)$ и $(2, +\infty)$.
- Для интервала $(2, +\infty)$ возьмем пробную точку $x=3$: $\frac{3^2}{3-2} = \frac{9}{1} = 9 > 0$. Значит, на этом интервале выражение положительно (+).
- При переходе через $x=2$ знак меняется на противоположный. Значит, на интервале $(0, 2)$ выражение отрицательно (-).
- При переходе через $x=0$ знак не меняется. Значит, на интервале $(-\infty, 0)$ выражение также отрицательно (-).

5. Нам нужно найти значения $x$, при которых выражение $\ge 0$. Это соответствует интервалам со знаком "+" и точкам, где выражение равно нулю.
Выражение положительно на интервале $(2, +\infty)$.
Выражение равно нулю в точке $x=0$.

Объединяя эти результаты, получаем решение неравенства.

Ответ: $\{0\} \cup (2, +\infty)$

б) Решим неравенство $\frac{x+2}{(x-4)^2} \ge 0$ методом интервалов.

1. Найдем ОДЗ. Знаменатель не может быть равен нулю: $(x-4)^2 \neq 0$, что означает $x-4 \neq 0$, следовательно, $x \neq 4$.

2. Найдем нули числителя и знаменателя.
Нуль числителя: $x+2 = 0 \implies x = -2$. Это корень нечетной кратности, знак при переходе через него будет меняться.
Нуль знаменателя: $(x-4)^2 = 0 \implies x = 4$. Это корень четной кратности (2), поэтому знак выражения при переходе через эту точку меняться не будет.

3. Нанесем точки $-2$ и $4$ на числовую ось. Точку $x=4$ изобразим выколотой, так как она не входит в ОДЗ. Точку $x=-2$ изобразим закрашенной, так как неравенство нестрогое и при $x=-2$ левая часть равна нулю.

4. Определим знак выражения на каждом из интервалов: $(-\infty, -2)$, $(-2, 4)$ и $(4, +\infty)$.
Заметим, что знаменатель $(x-4)^2$ всегда положителен при $x \neq 4$. Следовательно, знак всей дроби совпадает со знаком числителя $x+2$.
- Для интервала $(4, +\infty)$ возьмем $x=5$: $\frac{5+2}{(5-4)^2} = \frac{7}{1} = 7 > 0$. Знак "+".
- При переходе через $x=4$ знак не меняется. Значит, на интервале $(-2, 4)$ тоже знак "+".
- При переходе через $x=-2$ знак меняется. Значит, на интервале $(-\infty, -2)$ знак "-".

5. Нам нужно найти значения $x$, при которых выражение $\ge 0$.
Выражение положительно на интервалах $(-2, 4)$ и $(4, +\infty)$.
Выражение равно нулю в точке $x=-2$.

Объединяя эти промежутки и точку, получаем итоговое решение.

Ответ: $[-2, 4) \cup (4, +\infty)$