Номер 54, страница 10, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

Решите систему неравенств:

54. а) $\begin{cases} 15x + 60 < 0, \\ -42 - 6x \geq 0; \end{cases}$

б) $\begin{cases} -28 - 4x \leq 0, \\ 5x + 35 \leq 0. \end{cases}$

а)

Чтобы решить систему неравенств, необходимо решить каждое неравенство по отдельности, а затем найти пересечение их решений.

$ \begin{cases} 15x + 60 < 0, \\ -42 - 6x \ge 0; \end{cases} $

1. Решим первое неравенство:
$15x + 60 < 0$
Перенесем 60 в правую часть, изменив знак:
$15x < -60$
Разделим обе части на 15:
$x < \frac{-60}{15}$
$x < -4$
Решением является интервал $(-\infty; -4)$.

2. Решим второе неравенство:
$-42 - 6x \ge 0$
Перенесем $-6x$ в правую часть, изменив знак:
$-42 \ge 6x$
Разделим обе части на 6. Знак неравенства не меняется.
$-7 \ge x$
Это эквивалентно записи:
$x \le -7$
Решением является интервал $(-\infty; -7]$.

3. Найдем пересечение решений.
Нам нужно найти значения $x$, которые удовлетворяют обоим условиям: $x < -4$ и $x \le -7$.
Если число меньше или равно -7, оно автоматически меньше -4. Следовательно, пересечением этих двух множеств является множество $x \le -7$.

Ответ: $x \in (-\infty; -7]$.

б)

Решим вторую систему неравенств аналогичным образом.

$ \begin{cases} -28 - 4x \le 0, \\ 5x + 35 \le 0. \end{cases} $

1. Решим первое неравенство:
$-28 - 4x \le 0$
Перенесем $-4x$ в правую часть, изменив знак:
$-28 \le 4x$
Разделим обе части на 4:
$-7 \le x$
Это эквивалентно записи:
$x \ge -7$
Решением является интервал $[-7; +\infty)$.

2. Решим второе неравенство:
$5x + 35 \le 0$
Перенесем 35 в правую часть, изменив знак:
$5x \le -35$
Разделим обе части на 5:
$x \le \frac{-35}{5}$
$x \le -7$
Решением является интервал $(-\infty; -7]$.

3. Найдем пересечение решений.
Нам нужно найти значения $x$, которые удовлетворяют обоим условиям: $x \ge -7$ и $x \le -7$.
Единственное число, которое одновременно не меньше -7 и не больше -7, это само число -7.

Ответ: $\{-7\}$.