Номер 60, страница 11, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

60. Велосипедист проехал 96 км на 2 ч быстрее, чем предполагал. При этом за каждый час он проезжал на 1 км больше, чем намеревался проезжать за 1 ч 15 мин. С какой скоростью ехал велосипедист?

Пусть $v_ф$ — фактическая скорость велосипедиста (в км/ч), а $v_п$ — планируемая скорость (в км/ч). Расстояние $S$ составляет 96 км.

Фактическое время в пути: $t_ф = \frac{S}{v_ф} = \frac{96}{v_ф}$ ч.
Планируемое время в пути: $t_п = \frac{S}{v_п} = \frac{96}{v_п}$ ч.

Из условия, что велосипедист проехал путь на 2 часа быстрее, чем планировал ($t_п - t_ф = 2$), получаем первое уравнение:
$\frac{96}{v_п} - \frac{96}{v_ф} = 2$

Из второго условия следует, что фактическое расстояние за 1 час ($v_ф$) на 1 км больше, чем расстояние, которое он намеревался проехать за 1 час 15 минут.
Переведем время в часы: $1 \text{ ч } 15 \text{ мин} = 1 + \frac{15}{60} \text{ ч} = 1.25 \text{ ч} = \frac{5}{4}$ ч.
Расстояние, которое он планировал проехать за это время: $v_п \cdot \frac{5}{4}$ км.
Получаем второе уравнение:
$v_ф = \frac{5}{4} v_п + 1$

Мы имеем систему из двух уравнений. Выразим $v_п$ из второго уравнения:
$v_ф - 1 = \frac{5}{4} v_п \implies v_п = \frac{4(v_ф - 1)}{5}$

Подставим это выражение в первое уравнение:
$\frac{96}{\frac{4(v_ф - 1)}{5}} - \frac{96}{v_ф} = 2$
$\frac{96 \cdot 5}{4(v_ф - 1)} - \frac{96}{v_ф} = 2$
$\frac{120}{v_ф - 1} - \frac{96}{v_ф} = 2$

Умножим обе части уравнения на общий знаменатель $v_ф(v_ф - 1)$:
$120v_ф - 96(v_ф - 1) = 2v_ф(v_ф - 1)$
$120v_ф - 96v_ф + 96 = 2v_ф^2 - 2v_ф$
$24v_ф + 96 = 2v_ф^2 - 2v_ф$

Приведем уравнение к стандартному квадратному виду $ax^2 + bx + c = 0$:
$2v_ф^2 - 2v_ф - 24v_ф - 96 = 0$
$2v_ф^2 - 26v_ф - 96 = 0$

Разделим обе части на 2:
$v_ф^2 - 13v_ф - 48 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. По теореме Виета, корни уравнения $x_1$ и $x_2$ должны удовлетворять условиям: $x_1 \cdot x_2 = -48$ и $x_1 + x_2 = 13$. Подбором находим корни: $16$ и $-3$.
Либо можно записать в виде множителей:
$(v_ф - 16)(v_ф + 3) = 0$
Отсюда корни: $v_{ф1} = 16$, $v_{ф2} = -3$.

Так как скорость не может быть отрицательной величиной, корень $v_ф = -3$ не подходит по смыслу задачи. Следовательно, фактическая скорость велосипедиста составляет 16 км/ч.

Ответ: 16 км/ч.