Номер 76, страница 13, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

76. В сплав золота с серебром, содержащий 80 г золота, добавили 100 г золота. В результате содержание золота в сплаве увеличилось на 20 %. Сколько граммов серебра в сплаве?

Пусть масса серебра в первоначальном сплаве составляет $x$ граммов.Изначально в сплаве было 80 г золота, следовательно, общая масса сплава была $80 + x$ г.Концентрация золота (доля золота в сплаве) в первоначальном сплаве вычисляется как отношение массы золота к общей массе сплава:$C_1 = \frac{80}{80 + x}$

После добавления 100 г золота, масса золота в новом сплаве стала $80 + 100 = 180$ г. Масса серебра осталась прежней, $x$ г.Общая масса нового сплава стала $180 + x$ г.Концентрация золота в новом сплаве:$C_2 = \frac{180}{180 + x}$

По условию, содержание золота в сплаве увеличилось на 20%. Это означает, что разница между новой и старой концентрациями составляет 20 процентных пунктов, или 0.2 в долях.$C_2 - C_1 = 0.2$Подставим выражения для $C_1$ и $C_2$ в это уравнение:$\frac{180}{180 + x} - \frac{80}{80 + x} = 0.2$

Решим полученное уравнение. Приведем дроби в левой части к общему знаменателю:$\frac{180(80 + x) - 80(180 + x)}{(180 + x)(80 + x)} = 0.2$Раскроем скобки в числителе:$\frac{14400 + 180x - 14400 - 80x}{(180 + x)(80 + x)} = 0.2$Упростим числитель:$\frac{100x}{x^2 + 80x + 180x + 14400} = 0.2$$\frac{100x}{x^2 + 260x + 14400} = 0.2$

Умножим обе части уравнения на знаменатель (так как масса $x$ должна быть положительной, знаменатель не равен нулю):$100x = 0.2(x^2 + 260x + 14400)$Умножим обе части на 5, чтобы избавиться от десятичной дроби:$500x = x^2 + 260x + 14400$

Перенесем все члены в правую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:$x^2 + 260x - 500x + 14400 = 0$$x^2 - 240x + 14400 = 0$

Заметим, что левая часть уравнения является полным квадратом разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$, где $a=x$ и $b=120$:$(x - 120)^2 = 0$Отсюда следует, что:$x - 120 = 0$$x = 120$Следовательно, масса серебра в сплаве равна 120 г.

Проверка:

• Первоначальный сплав: 80 г золота и 120 г серебра. Общая масса: $80 + 120 = 200$ г. Содержание золота: $\frac{80}{200} = 0.4$, или 40%.
• Новый сплав: $80 + 100 = 180$ г золота и 120 г серебра. Общая масса: $180 + 120 = 300$ г. Содержание золота: $\frac{180}{300} = 0.6$, или 60%.
• Увеличение содержания золота: $60\% - 40\% = 20\%$. Условие задачи выполнено.

Ответ: 120 граммов серебра в сплаве.