Номер 83, страница 14, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

83. Первый банк дает 5% годовых, а второй — 10%. Вкладчик часть своих денег положил в первый банк, а остальные — во второй. Через 2 года суммарное число вложенных денег увеличилось на 18,85%. Какую долю своих денег положил вкладчик в первый банк?

Для решения задачи обозначим общую сумму денег вкладчика как $S$. Пусть $x$ — это доля денег, которую вкладчик положил в первый банк. Тогда в первый банк он положил сумму $xS$, а во второй банк — оставшуюся часть, то есть $(1-x)S$.

Процентные ставки по вкладам являются годовыми, что предполагает начисление сложных процентов. Формула для расчета итоговой суммы при сложных процентах:$A = P(1 + r)^t$, где:

• $A$ — итоговая сумма,
• $P$ — первоначальная сумма вклада,
• $r$ — годовая процентная ставка в виде десятичной дроби,
• $t$ — количество лет.

1. Расчет итоговой суммы в первом банке.

Процентная ставка в первом банке составляет 5% годовых, то есть $r_1 = 0.05$. Срок вклада — 2 года.Сумма на счете в первом банке через 2 года составит:$A_1 = xS \cdot (1 + 0.05)^2 = xS \cdot (1.05)^2 = 1.1025xS$.

2. Расчет итоговой суммы во втором банке.

Процентная ставка во втором банке составляет 10% годовых, то есть $r_2 = 0.10$. Срок вклада — 2 года.Сумма на счете во втором банке через 2 года составит:$A_2 = (1-x)S \cdot (1 + 0.10)^2 = (1-x)S \cdot (1.1)^2 = 1.21(1-x)S$.

3. Составление уравнения.

Суммарная сумма на обоих вкладах через 2 года будет равна $A_1 + A_2$:$A_{общ} = 1.1025xS + 1.21(1-x)S$.

По условию задачи, суммарное число вложенных денег увеличилось на 18,85%. Это означает, что итоговая сумма составила $100\% + 18.85\% = 118.85\%$ от первоначальной суммы $S$. В виде десятичной дроби это $1.1885S$.

Приравняем два полученных выражения для общей итоговой суммы:$1.1025xS + 1.21(1-x)S = 1.1885S$.

Поскольку начальная сумма $S$ не равна нулю, мы можем разделить обе части уравнения на $S$:$1.1025x + 1.21(1-x) = 1.1885$.

4. Решение уравнения.

Раскроем скобки и решим уравнение относительно $x$:$1.1025x + 1.21 - 1.21x = 1.1885$

Сгруппируем слагаемые с $x$:$(1.1025 - 1.21)x = 1.1885 - 1.21$

$-0.1075x = -0.0215$

Теперь найдем $x$:$x = \frac{-0.0215}{-0.1075} = \frac{215}{1075}$

Сократим полученную дробь. Оба числа делятся на 5, а затем на 43:$x = \frac{215 \div 5}{1075 \div 5} = \frac{43}{215}$

$x = \frac{43 \div 43}{215 \div 43} = \frac{1}{5}$

Таким образом, доля денег, которую вкладчик положил в первый банк, составляет $1/5$ или 0.2.

Ответ: вкладчик положил в первый банк $1/5$ своих денег.