Номер 77, страница 13, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

77. В сплав меди и цинка, содержащий 5 кг цинка, добавили 15 кг цинка, после чего содержание цинка в сплаве повысилось на 30 %. Какова первоначальная масса сплава, если известно, что в нём меди было больше, чем цинка?

Пусть $M$ - первоначальная масса сплава в кг, а $m_c$ - масса меди в сплаве в кг.

Согласно условию, первоначальная масса цинка в сплаве составляла 5 кг. Следовательно, первоначальная масса сплава: $M = m_c + 5$ кг.

Первоначальное содержание (концентрация) цинка в сплаве было: $C_1 = \frac{5}{M} = \frac{5}{m_c + 5}$

После того как в сплав добавили 15 кг цинка, масса цинка в новом сплаве стала: $5 + 15 = 20$ кг.

Общая масса нового сплава стала: $M_{new} = M + 15 = (m_c + 5) + 15 = m_c + 20$ кг.

Содержание цинка в новом сплаве стало: $C_2 = \frac{20}{M_{new}} = \frac{20}{m_c + 20}$

По условию, содержание цинка в сплаве повысилось на 30%, что означает, что новое содержание на 0.3 (30 процентных пунктов) больше первоначального: $C_2 = C_1 + 0.3$

Подставим выражения для $C_1$ и $C_2$ в это уравнение: $\frac{20}{m_c + 20} = \frac{5}{m_c + 5} + 0.3$

Для решения этого уравнения перенесем слагаемое с $m_c$ в левую часть: $\frac{20}{m_c + 20} - \frac{5}{m_c + 5} = 0.3$

Приведем левую часть к общему знаменателю: $\frac{20(m_c + 5) - 5(m_c + 20)}{(m_c + 20)(m_c + 5)} = 0.3$

$\frac{20m_c + 100 - 5m_c - 100}{m_c^2 + 5m_c + 20m_c + 100} = 0.3$

$\frac{15m_c}{m_c^2 + 25m_c + 100} = 0.3$

Умножим обе части на знаменатель: $15m_c = 0.3(m_c^2 + 25m_c + 100)$

Разделим обе части на 0.3: $\frac{15}{0.3}m_c = m_c^2 + 25m_c + 100$

$50m_c = m_c^2 + 25m_c + 100$

Приведем уравнение к стандартному квадратному виду $ax^2 + bx + c = 0$: $m_c^2 + 25m_c - 50m_c + 100 = 0$ $m_c^2 - 25m_c + 100 = 0$

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$: $D = (-25)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 100 = 625 - 400 = 225 = 15^2$

Найдем корни уравнения: $m_{c1} = \frac{-(-25) + \sqrt{225}}{2 \cdot 1} = \frac{25 + 15}{2} = \frac{40}{2} = 20$ $m_{c2} = \frac{-(-25) - \sqrt{225}}{2 \cdot 1} = \frac{25 - 15}{2} = \frac{10}{2} = 5$

Мы получили два возможных значения для массы меди: 20 кг и 5 кг. Теперь используем последнее условие задачи: "в нём меди было больше, чем цинка". Первоначальная масса цинка была 5 кг. Значит, масса меди $m_c$ должна быть строго больше 5 кг ($m_c > 5$).

Проверим наши решения:

• Если $m_c = 20$ кг, то $20 > 5$. Это условие выполняется.
• Если $m_c = 5$ кг, то $5 > 5$ - это неверно ($5=5$). Это решение не удовлетворяет условию задачи.

Следовательно, единственно возможное значение массы меди - 20 кг.

Найдем первоначальную массу сплава $M$: $M = m_c + 5 = 20 + 5 = 25$ кг.

Ответ: 25 кг.