Номер 106, страница 17, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

106. a) Дана функция $y = f(x)$, где $f(x) = x^2 + 7x + 12$. При каких значениях $x$ выполняется неравенство $f(x + 3) > f(0)$?

б) Дана функция $y = f(x)$, где $f(x) = x^2 - 4x + 3$. При каких значениях $x$ выполняется неравенство $f(x - 1) \le f(1)$?

а) Дана функция $y = f(x)$, где $f(x) = x^2 + 7x + 12$. Требуется найти значения $x$, при которых выполняется неравенство $f(x + 3) > f(0)$.

1. Сначала найдем выражение для $f(x + 3)$. Для этого подставим $(x + 3)$ вместо $x$ в уравнение функции:

$f(x + 3) = (x + 3)^2 + 7(x + 3) + 12$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$f(x + 3) = (x^2 + 6x + 9) + (7x + 21) + 12 = x^2 + 6x + 7x + 9 + 21 + 12 = x^2 + 13x + 42$

2. Теперь найдем значение функции $f(0)$, подставив $0$ вместо $x$:

$f(0) = 0^2 + 7 \cdot 0 + 12 = 12$

3. Подставим полученные выражения в исходное неравенство $f(x + 3) > f(0)$:

$x^2 + 13x + 42 > 12$

Перенесем 12 в левую часть, чтобы получить квадратное неравенство:

$x^2 + 13x + 42 - 12 > 0$

$x^2 + 13x + 30 > 0$

4. Для решения неравенства найдем корни соответствующего квадратного уравнения $x^2 + 13x + 30 = 0$. Можно использовать теорему Виета: произведение корней $x_1 \cdot x_2 = 30$, а их сумма $x_1 + x_2 = -13$. Подбором находим корни: $x_1 = -10$ и $x_2 = -3$.

Графиком функции $y = x^2 + 13x + 30$ является парабола, ветви которой направлены вверх (так как коэффициент при $x^2$ равен 1, что больше нуля). Парабола находится выше оси Ox (то есть $y > 0$) левее меньшего корня и правее большего корня.

Следовательно, решением неравенства являются интервалы $(-\infty; -10)$ и $(-3; \infty)$.

Ответ: $x \in (-\infty; -10) \cup (-3; \infty)$.

б) Дана функция $y = f(x)$, где $f(x) = x^2 - 4x + 3$. Требуется найти значения $x$, при которых выполняется неравенство $f(x - 1) \le f(1)$.

1. Сначала найдем выражение для $f(x - 1)$. Для этого подставим $(x - 1)$ вместо $x$ в уравнение функции:

$f(x - 1) = (x - 1)^2 - 4(x - 1) + 3$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$f(x - 1) = (x^2 - 2x + 1) - (4x - 4) + 3 = x^2 - 2x + 1 - 4x + 4 + 3 = x^2 - 6x + 8$

2. Теперь найдем значение функции $f(1)$, подставив $1$ вместо $x$:

$f(1) = 1^2 - 4 \cdot 1 + 3 = 1 - 4 + 3 = 0$

3. Подставим полученные выражения в исходное неравенство $f(x - 1) \le f(1)$:

$x^2 - 6x + 8 \le 0$

4. Для решения неравенства найдем корни соответствующего квадратного уравнения $x^2 - 6x + 8 = 0$. По теореме Виета: $x_1 \cdot x_2 = 8$ и $x_1 + x_2 = 6$. Корнями являются $x_1 = 2$ и $x_2 = 4$.

Графиком функции $y = x^2 - 6x + 8$ является парабола, ветви которой направлены вверх. Парабола находится ниже или на оси Ox (то есть $y \le 0$) между корнями, включая сами корни.

Следовательно, решением неравенства является отрезок $[2; 4]$.

Ответ: $x \in [2; 4]$.