Номер 3.19, страница 31, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

3.19. Могут ли длины сторон треугольника выражаться числами:

а) $ \sqrt{3}, \sqrt{2}, 1; $

б) $ \sqrt{3}, \sqrt{5}, 4? $

Для того чтобы определить, может ли существовать треугольник с заданными длинами сторон, необходимо проверить выполнение неравенства треугольника. Неравенство треугольника гласит, что сумма длин любых двух сторон треугольника должна быть больше длины третьей стороны. Если обозначить длины сторон как $a$, $b$ и $c$, то должны выполняться три условия: $a + b > c$, $a + c > b$ и $b + c > a$.

На практике достаточно проверить только одно условие: сумма длин двух меньших сторон должна быть больше длины самой большой стороны. Если это условие выполняется, то два других выполнятся автоматически.

а) Проверим, могут ли длины сторон треугольника быть равны $\sqrt{3}$, $\sqrt{2}$ и $1$.

Сначала определим, какая из сторон наибольшая. Для этого сравним числа $\sqrt{3}$, $\sqrt{2}$ и $1$. Поскольку $3 > 2 > 1$, то и $\sqrt{3} > \sqrt{2} > \sqrt{1} = 1$.

Следовательно, наибольшая сторона имеет длину $\sqrt{3}$. Две другие стороны имеют длины $\sqrt{2}$ и $1$.

Теперь проверим, выполняется ли неравенство треугольника: сумма длин двух меньших сторон должна быть больше длины большей стороны. Необходимо проверить, верно ли неравенство: $\sqrt{2} + 1 > \sqrt{3}$.

Так как обе части неравенства положительны, мы можем возвести их в квадрат, чтобы избавиться от корней. Знак неравенства при этом не изменится.

$(\sqrt{2} + 1)^2 > (\sqrt{3})^2$

$(\sqrt{2})^2 + 2 \cdot \sqrt{2} \cdot 1 + 1^2 > 3$

$2 + 2\sqrt{2} + 1 > 3$

$3 + 2\sqrt{2} > 3$

Отнимем 3 от обеих частей неравенства, получим: $2\sqrt{2} > 0$.

Это неравенство очевидно верно, так как $\sqrt{2} > 0$. Следовательно, исходное неравенство $\sqrt{2} + 1 > \sqrt{3}$ также верно. Поскольку неравенство треугольника выполняется, такой треугольник может существовать.

Ответ: да, могут.

б) Проверим, могут ли длины сторон треугольника быть равны $\sqrt{3}$, $\sqrt{5}$ и $4$.

Сначала определим, какая из сторон наибольшая. Для этого сравним числа $\sqrt{3}$, $\sqrt{5}$ и $4$. Мы знаем, что $4 = \sqrt{16}$. Поскольку $16 > 5 > 3$, то и $\sqrt{16} > \sqrt{5} > \sqrt{3}$, то есть $4 > \sqrt{5} > \sqrt{3}$.

Следовательно, наибольшая сторона имеет длину $4$. Две другие стороны имеют длины $\sqrt{3}$ и $\sqrt{5}$.

Проверим выполнение неравенства треугольника: сумма длин двух меньших сторон должна быть больше длины большей стороны. Необходимо проверить, верно ли неравенство: $\sqrt{3} + \sqrt{5} > 4$.

Так как обе части неравенства положительны, возведем их в квадрат:

$(\sqrt{3} + \sqrt{5})^2 > 4^2$

$(\sqrt{3})^2 + 2 \cdot \sqrt{3} \cdot \sqrt{5} + (\sqrt{5})^2 > 16$

$3 + 2\sqrt{15} + 5 > 16$

$8 + 2\sqrt{15} > 16$

Отнимем 8 от обеих частей неравенства: $2\sqrt{15} > 8$.

Разделим обе части на 2: $\sqrt{15} > 4$.

Чтобы сравнить $\sqrt{15}$ и $4$, снова возведем обе части в квадрат (или представим $4$ как $\sqrt{16}$): $(\sqrt{15})^2 > 4^2$, что дает $15 > 16$.

Это неравенство неверно, так как $15 < 16$. Следовательно, исходное неравенство $\sqrt{3} + \sqrt{5} > 4$ также неверно. На самом деле, $\sqrt{3} + \sqrt{5} < 4$.

Поскольку неравенство треугольника не выполняется, такой треугольник не может существовать.

Ответ: нет, не могут.