Номер 4.9, страница 33, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

4.9. Сравните числа a и b:

а) $a = 1 + \sqrt{5}$, $b = \sqrt{11}$;

б) $a = \sqrt{7} - \sqrt{19}$, $b = \sqrt{5} - \sqrt{21}$;

в) $a = \sqrt{29}$, $b = 1 + \sqrt{19}$;

г) $a = \sqrt{17} - \sqrt{59}$, $b = \sqrt{15} - \sqrt{61}$.

а) Для сравнения чисел $a = 1 + \sqrt{5}$ и $b = \sqrt{11}$ возведем их в квадрат, так как оба числа положительны. Знак неравенства между квадратами будет таким же, как и между самими числами.
$a^2 = (1 + \sqrt{5})^2 = 1^2 + 2 \cdot 1 \cdot \sqrt{5} + (\sqrt{5})^2 = 1 + 2\sqrt{5} + 5 = 6 + 2\sqrt{5}$.
$b^2 = (\sqrt{11})^2 = 11$.
Теперь сравним $6 + 2\sqrt{5}$ и $11$. Вычтем 6 из обеих частей:
Сравним $2\sqrt{5}$ и $5$.
Возведем в квадрат обе части (они положительны):
$(2\sqrt{5})^2 = 4 \cdot 5 = 20$.
$5^2 = 25$.
Так как $20 < 25$, то $2\sqrt{5} < 5$.
Следовательно, $6 + 2\sqrt{5} < 11$, что означает $a^2 < b^2$.
Поскольку $a > 0$ и $b > 0$, из $a^2 < b^2$ следует, что $a < b$.
Ответ: $a < b$.

б) Сравним числа $a = \sqrt{7} - \sqrt{19}$ и $b = \sqrt{5} - \sqrt{21}$.
Поскольку $7 < 19$ и $5 < 21$, оба числа $a$ и $b$ отрицательны.
Сравнение $ \sqrt{7} - \sqrt{19} $ и $ \sqrt{5} - \sqrt{21} $ равносильно сравнению $ \sqrt{7} + \sqrt{21} $ и $ \sqrt{5} + \sqrt{19} $.
Обозначим $A = \sqrt{7} + \sqrt{21}$ и $B = \sqrt{5} + \sqrt{19}$. Оба числа $A$ и $B$ положительны, поэтому мы можем сравнить их квадраты.
$A^2 = (\sqrt{7} + \sqrt{21})^2 = 7 + 2\sqrt{7 \cdot 21} + 21 = 28 + 2\sqrt{147} = 28 + 2\sqrt{49 \cdot 3} = 28 + 14\sqrt{3}$.
$B^2 = (\sqrt{5} + \sqrt{19})^2 = 5 + 2\sqrt{5 \cdot 19} + 19 = 24 + 2\sqrt{95}$.
Теперь сравним $28 + 14\sqrt{3}$ и $24 + 2\sqrt{95}$. Это равносильно сравнению $4 + 14\sqrt{3}$ и $2\sqrt{95}$, или $2 + 7\sqrt{3}$ и $\sqrt{95}$.
Возведем обе части в квадрат:
$(2 + 7\sqrt{3})^2 = 4 + 28\sqrt{3} + (7\sqrt{3})^2 = 4 + 28\sqrt{3} + 147 = 151 + 28\sqrt{3}$.
$(\sqrt{95})^2 = 95$.
Очевидно, что $151 + 28\sqrt{3} > 95$.
Значит, $(2 + 7\sqrt{3})^2 > (\sqrt{95})^2$, и так как обе части положительны, $2 + 7\sqrt{3} > \sqrt{95}$.
Из этого следует, что $A^2 > B^2$, и $A > B$.
Таким образом, $\sqrt{7} + \sqrt{21} > \sqrt{5} + \sqrt{19}$, что означает $\sqrt{7} - \sqrt{19} > \sqrt{5} - \sqrt{21}$.
Ответ: $a > b$.

в) Для сравнения чисел $a = \sqrt{29}$ и $b = 1 + \sqrt{19}$ возведем их в квадрат, так как оба числа положительны.
$a^2 = (\sqrt{29})^2 = 29$.
$b^2 = (1 + \sqrt{19})^2 = 1^2 + 2\sqrt{19} + (\sqrt{19})^2 = 1 + 2\sqrt{19} + 19 = 20 + 2\sqrt{19}$.
Теперь сравним $29$ и $20 + 2\sqrt{19}$. Вычтем 20 из обеих частей:
Сравним $9$ и $2\sqrt{19}$.
Возведем в квадрат обе части (они положительны):
$9^2 = 81$.
$(2\sqrt{19})^2 = 4 \cdot 19 = 76$.
Так как $81 > 76$, то $9 > 2\sqrt{19}$.
Следовательно, $29 > 20 + 2\sqrt{19}$, что означает $a^2 > b^2$.
Поскольку $a > 0$ и $b > 0$, из $a^2 > b^2$ следует, что $a > b$.
Ответ: $a > b$.

г) Сравним числа $a = \sqrt{17} - \sqrt{59}$ и $b = \sqrt{15} - \sqrt{61}$.
Оба числа отрицательны, так как $\sqrt{17} < \sqrt{59}$ и $\sqrt{15} < \sqrt{61}$.
Сравнение $ \sqrt{17} - \sqrt{59} $ и $ \sqrt{15} - \sqrt{61} $ равносильно сравнению $ \sqrt{17} + \sqrt{61} $ и $ \sqrt{15} + \sqrt{59} $.
Обозначим $A = \sqrt{17} + \sqrt{61}$ и $B = \sqrt{15} + \sqrt{59}$. Оба числа $A$ и $B$ положительны, поэтому мы можем сравнить их квадраты.
$A^2 = (\sqrt{17} + \sqrt{61})^2 = 17 + 2\sqrt{17 \cdot 61} + 61 = 78 + 2\sqrt{1037}$.
$B^2 = (\sqrt{15} + \sqrt{59})^2 = 15 + 2\sqrt{15 \cdot 59} + 59 = 74 + 2\sqrt{885}$.
Теперь сравним $78 + 2\sqrt{1037}$ и $74 + 2\sqrt{885}$.
Так как $1037 > 885$, то $\sqrt{1037} > \sqrt{885}$.
Также очевидно, что $78 > 74$.
Складывая два больших числа, мы получим результат больше, чем при сложении двух меньших чисел. Таким образом, $78 + 2\sqrt{1037} > 74 + 2\sqrt{885}$.
Следовательно, $A^2 > B^2$, и так как $A, B > 0$, то $A > B$.
Это означает, что $\sqrt{17} + \sqrt{61} > \sqrt{15} + \sqrt{59}$, и, соответственно, $\sqrt{17} - \sqrt{59} > \sqrt{15} - \sqrt{61}$.
Ответ: $a > b$.