Номер 4.8, страница 33, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

4.8. Сравните числа a и b:

a) $a = \frac{12}{47}$, $b = \frac{51}{200}$;

б) $a = -\frac{31}{14}$, $b = -2,21$;

в) $a = \frac{17}{19}$, $b = \frac{37}{39}$;

г) $a = -\frac{431}{114}$, $b = -3,79$.

a) Чтобы сравнить числа $a = \frac{12}{47}$ и $b = \frac{51}{200}$, можно использовать метод перекрестного умножения. Для этого сравним произведение числителя первой дроби на знаменатель второй с произведением числителя второй дроби на знаменатель первой.

Сравниваем $12 \times 200$ и $51 \times 47$.

$12 \times 200 = 2400$.

$51 \times 47 = 2397$.

Поскольку $2400 > 2397$, то и соответствующая дробь больше: $\frac{12}{47} > \frac{51}{200}$.

Следовательно, $a > b$.

Ответ: $a > b$.

б) Чтобы сравнить числа $a = -\frac{31}{14}$ и $b = -2,21$, представим дробь $a$ в виде десятичной дроби.

Выполним деление 31 на 14:

$31 \div 14 = 2,214...$

Таким образом, $a = -2,214...$

Теперь сравним два отрицательных числа: $a = -2,214...$ и $b = -2,21$. Из двух отрицательных чисел больше то, у которого модуль (абсолютная величина) меньше.

Сравним модули этих чисел:

$|a| = |-2,214...| = 2,214...$

$|b| = |-2,21| = 2,21$

Так как $2,214... > 2,21$, то $|a| > |b|$.

Следовательно, $a < b$.

Ответ: $a < b$.

в) Чтобы сравнить числа $a = \frac{17}{19}$ и $b = \frac{37}{39}$, удобно сравнить их "дополнения до единицы".

Найдем, на сколько каждое число меньше единицы:

$1 - a = 1 - \frac{17}{19} = \frac{19-17}{19} = \frac{2}{19}$.

$1 - b = 1 - \frac{37}{39} = \frac{39-37}{39} = \frac{2}{39}$.

Теперь нужно сравнить дроби $\frac{2}{19}$ и $\frac{2}{39}$. У этих дробей одинаковые числители. Из двух дробей с одинаковыми положительными числителями больше та, у которой знаменатель меньше.

Поскольку $19 < 39$, то $\frac{2}{19} > \frac{2}{39}$.

Это означает, что от единицы для получения $a$ мы отнимаем большее число, чем для получения $b$. Значит, $a$ будет меньше, чем $b$.

Из $1 - a > 1 - b$ следует, что $-a > -b$, и, умножая на -1, получаем $a < b$.

Ответ: $a < b$.

г) Чтобы сравнить числа $a = -\frac{431}{114}$ и $b = -3,79$, представим дробь $a$ в виде десятичной.

Выполним деление 431 на 114:

$431 \div 114 \approx 3,7807...$

Для сравнения достаточно двух знаков после запятой, поэтому $\frac{431}{114} \approx 3,78$.

Таким образом, $a \approx -3,78$.

Теперь сравним отрицательные числа: $a \approx -3,78$ и $b = -3,79$.

Сравним их модули:

$|a| \approx 3,78$

$|b| = 3,79$

Так как $3,78 < 3,79$, то $|a| < |b|$.

Из двух отрицательных чисел больше то, у которого модуль меньше. Следовательно, $a > b$.

Ответ: $a > b$.