Страница 38, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

Вычислите сумму:

6.2. а) $7 + 8 + 9 + \dots + (n + 6);$

б) $2 + 11 + 20 + \dots + (9n - 7);$

в) $1.35 + 1.4 + 1.45 + \dots + (0.05n + 1.3);$

г) $0.\overline{3} + 0.\overline{5} + 0.\overline{7} + \dots + (0.\overline{2}n + 0.\overline{1}));$

а) 7 + 8 + 9 + ... + (n + 6)

Данная сумма представляет собой сумму членов арифметической прогрессии. Определим ее параметры.

Первый член прогрессии $a_1 = 7$.
Второй член $a_2 = 8$.
Разность прогрессии $d = a_2 - a_1 = 8 - 7 = 1$.

Общая формула для $k$-го члена арифметической прогрессии: $a_k = a_1 + (k-1)d$.
Для данной прогрессии: $a_k = 7 + (k-1) \cdot 1 = 7 + k - 1 = k + 6$.

Последний член суммы задан выражением $(n + 6)$. Чтобы найти количество членов в сумме, приравняем формулу $k$-го члена к последнему члену: $k + 6 = n + 6$, откуда $k=n$. Это означает, что в сумме ровно $n$ слагаемых, а последний член является $n$-м членом прогрессии: $a_n = n+6$.

Для вычисления суммы $S_n$ первых $n$ членов арифметической прогрессии используется формула:

$S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n$

Подставим в формулу значения $a_1 = 7$ и $a_n = n+6$:

$S_n = \frac{7 + (n + 6)}{2} \cdot n = \frac{n + 13}{2} \cdot n = \frac{n(n + 13)}{2}$

Ответ: $ \frac{n(n + 13)}{2} $

б) 2 + 11 + 20 + ... + (9n - 7)

Это сумма членов арифметической прогрессии.

Первый член $a_1 = 2$.
Второй член $a_2 = 11$.
Разность прогрессии $d = a_2 - a_1 = 11 - 2 = 9$.

Проверим формулу для $n$-го члена. Общая формула $k$-го члена: $a_k = a_1 + (k-1)d$.
$a_k = 2 + (k-1) \cdot 9 = 2 + 9k - 9 = 9k - 7$.
При $k=n$ получаем $a_n = 9n - 7$, что совпадает с последним членом в заданной сумме. Следовательно, в сумме ровно $n$ членов.

Воспользуемся формулой суммы арифметической прогрессии:

$S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n$

Подставим известные значения $a_1=2$ и $a_n=9n-7$:

$S_n = \frac{2 + (9n - 7)}{2} \cdot n = \frac{9n - 5}{2} \cdot n = \frac{n(9n - 5)}{2}$

Ответ: $ \frac{n(9n - 5)}{2} $

в) 1,35 + 1,4 + 1,45 + ... + (0,05n + 1,3)

Данная сумма является суммой членов арифметической прогрессии.

Первый член $a_1 = 1,35$.
Второй член $a_2 = 1,4$.
Разность прогрессии $d = a_2 - a_1 = 1,4 - 1,35 = 0,05$.

Формула для $k$-го члена этой прогрессии: $a_k = a_1 + (k-1)d = 1,35 + (k-1) \cdot 0,05 = 1,35 + 0,05k - 0,05 = 0,05k + 1,3$.
При $k=n$ получаем $a_n = 0,05n + 1,3$, что соответствует последнему члену суммы. Значит, в сумме $n$ членов.

Вычислим сумму по формуле $S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n$:

$S_n = \frac{1,35 + (0,05n + 1,3)}{2} \cdot n = \frac{0,05n + 2,65}{2} \cdot n = \frac{n(0,05n + 2,65)}{2}$

Это выражение можно упростить, представив десятичные дроби в виде обыкновенных:

$S_n = \frac{n(\frac{5}{100}n + \frac{265}{100})}{2} = \frac{n(\frac{1}{20}n + \frac{53}{20})}{2} = \frac{n \cdot \frac{n+53}{20}}{2} = \frac{n(n+53)}{40}$

Ответ: $ \frac{n(0,05n + 2,65)}{2} $ или $ \frac{n(n+53)}{40} $

г) 0,(3) + 0,(5) + 0,(7) + ... + (0,(2)n + 0,(1))

Сначала преобразуем периодические десятичные дроби в обыкновенные:

$0,(3) = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}$; $0,(5) = \frac{5}{9}$; $0,(7) = \frac{7}{9}$; $0,(2) = \frac{2}{9}$; $0,(1) = \frac{1}{9}$.

Тогда сумма принимает вид (приведем первый член к знаменателю 9):

$\frac{3}{9} + \frac{5}{9} + \frac{7}{9} + ... + (\frac{2}{9}n + \frac{1}{9})$

Это арифметическая прогрессия. Найдем ее параметры.

Первый член $a_1 = \frac{3}{9}$.
Разность прогрессии $d = a_2 - a_1 = \frac{5}{9} - \frac{3}{9} = \frac{2}{9}$.

Проверим формулу $k$-го члена: $a_k = a_1 + (k-1)d = \frac{3}{9} + (k-1)\frac{2}{9} = \frac{3 + 2k - 2}{9} = \frac{2k+1}{9}$.

Последний член суммы равен $(\frac{2}{9}n + \frac{1}{9}) = \frac{2n+1}{9}$. При $k=n$ формула дает $a_n = \frac{2n+1}{9}$, что совпадает с заданным последним членом. Следовательно, в сумме $n$ членов.

Вычислим сумму по формуле $S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n$:

$S_n = \frac{\frac{3}{9} + \frac{2n+1}{9}}{2} \cdot n = \frac{\frac{3+2n+1}{9}}{2} \cdot n = \frac{\frac{2n+4}{9}}{2} \cdot n$

$S_n = \frac{2n+4}{18} \cdot n = \frac{2(n+2)}{18} \cdot n = \frac{n(n+2)}{9}$

Ответ: $ \frac{n(n+2)}{9} $

6.3. a) $1 - 2 + 3 - 4 + 5 - 6 + \dots + n(-1)^{n+1};$

б) $-1^2 + 2^2 - 3^2 + 4^2 - 5^2 + \dots + (-1)^n n^2;$

в) $0 + 3 + 2 + 5 + 4 + 7 + 6 + \dots + (n + (-1)^n);$

г) $2 - 6 + 12 - 20 + \dots + (-1)^{n+1}(n^2 + n).$

а) $1 - 2 + 3 - 4 + 5 - 6 + ... + n(-1)^{n+1}$

Решение:

Обозначим искомую сумму через $S_n$. Общий член ряда $a_k = k(-1)^{k+1}$. Для нахождения суммы рассмотрим два случая в зависимости от четности $n$.

1. Пусть $n$ — четное число, то есть $n = 2m$ для некоторого целого $m \ge 1$. Сгруппируем слагаемые попарно:

$S_n = S_{2m} = (1 - 2) + (3 - 4) + (5 - 6) + ... + ((2m-1) - 2m)$

Каждая пара в скобках дает в сумме $-1$. Всего таких пар $m = n/2$.

Следовательно, при четном $n$ сумма равна: $S_n = m \cdot (-1) = -m = -\frac{n}{2}$.

2. Пусть $n$ — нечетное число, то есть $n = 2m+1$ для некоторого целого $m \ge 0$. Сумму можно представить как сумму первых $2m$ членов и последнего, $(n)$-го члена:

$S_n = S_{2m+1} = S_{2m} + a_{2m+1} = S_{2m} + (2m+1)(-1)^{(2m+1)+1}$

Сумма первых $2m$ членов равна $-m$, как мы выяснили в первом случае. Последний член равен $(2m+1)(-1)^{2m+2} = 2m+1$.

Тогда $S_n = -m + (2m+1) = m+1$.

Так как $n = 2m+1$, выразим $m$ через $n$: $m = \frac{n-1}{2}$.

Следовательно, при нечетном $n$ сумма равна: $S_n = \frac{n-1}{2} + 1 = \frac{n-1+2}{2} = \frac{n+1}{2}$.

Объединяя оба случая, получаем:

Ответ: $S_n = \begin{cases} -n/2, & \text{если n четное} \\ (n+1)/2, & \text{если n нечетное} \end{cases}$

б) $-1^2 + 2^2 - 3^2 + 4^2 - 5^2 + ... + (-1)^n n^2$

Решение:

Обозначим сумму через $S_n$. Общий член ряда $a_k = (-1)^k k^2$. Как и в предыдущей задаче, рассмотрим два случая.

1. Пусть $n$ — четное число, $n = 2m$. Сгруппируем слагаемые попарно:

$S_n = S_{2m} = (-1^2 + 2^2) + (-3^2 + 4^2) + ... + (-(2m-1)^2 + (2m)^2)$

Каждую пару преобразуем, используя формулу разности квадратов $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$:

$(2j)^2 - (2j-1)^2 = (2j - (2j-1))(2j + (2j-1)) = 1 \cdot (4j-1) = 4j-1$.

Тогда сумма $S_{2m}$ является суммой арифметической прогрессии:

$S_{2m} = \sum_{j=1}^{m} (4j-1) = 4\sum_{j=1}^{m}j - \sum_{j=1}^{m}1 = 4 \frac{m(m+1)}{2} - m = 2m(m+1) - m = 2m^2 + m = m(2m+1)$.

Подставляя $m=n/2$, получаем: $S_n = \frac{n}{2}(n+1) = \frac{n(n+1)}{2}$.

2. Пусть $n$ — нечетное число, $n = 2m+1$.

$S_n = S_{2m+1} = S_{2m} + a_{2m+1} = S_{2m} + (-1)^{2m+1}(2m+1)^2 = S_{2m} - (2m+1)^2$.

Используя результат для $S_{2m}$, получаем:

$S_{2m+1} = m(2m+1) - (2m+1)^2 = (2m+1)(m - (2m+1)) = (2m+1)(-m-1) = - (m+1)(2m+1)$.

Подставляя $m+1 = \frac{n+1}{2}$ и $2m+1 = n$, получаем: $S_n = - \frac{n+1}{2} \cdot n = -\frac{n(n+1)}{2}$.

Объединяя оба случая в одну формулу с помощью множителя $(-1)^n$:

Ответ: $S_n = (-1)^n \frac{n(n+1)}{2}$.

в) $0 + 3 + 2 + 5 + 4 + 7 + 6 + ... + (n + (-1)^n)$

Решение:

Общий член ряда $a_k = k + (-1)^k$. Сумма $S_n = \sum_{k=1}^{n} a_k$. Разобьем сумму на две части:

$S_n = \sum_{k=1}^{n} (k + (-1)^k) = \sum_{k=1}^{n} k + \sum_{k=1}^{n} (-1)^k$.

Первая сумма — это сумма первых $n$ натуральных чисел, которая равна $\frac{n(n+1)}{2}$.

Вторая сумма — это сумма знакочередующегося ряда $\sum_{k=1}^{n} (-1)^k = -1 + 1 - 1 + 1 - ... + (-1)^n$.

Если $n$ — четное, слагаемые попарно уничтожаются, и сумма равна $0$.

Если $n$ — нечетное, то после попарного сокращения остается последнее слагаемое $-1$, и сумма равна $-1$.

Таким образом, $\sum_{k=1}^{n} (-1)^k = \begin{cases} 0, & \text{если n четное} \\ -1, & \text{если n нечетное} \end{cases}$. Это можно записать одной формулой как $\frac{(-1)^n-1}{2}$.

Складывая обе части, получаем итоговую формулу:

Ответ: $S_n = \frac{n(n+1)}{2} + \frac{(-1)^n - 1}{2} = \frac{n^2 + n + (-1)^n - 1}{2}$.

г) $2 - 6 + 12 - 20 + ... + (-1)^{n+1}(n^2 + n)$

Решение:

Общий член ряда $a_k = (-1)^{k+1}(k^2+k)$. Сумма $S_n = \sum_{k=1}^{n} a_k$. Разобьем сумму на две, как в предыдущей задаче:

$S_n = \sum_{k=1}^{n} (-1)^{k+1}(k^2+k) = \sum_{k=1}^{n} (-1)^{k+1}k^2 + \sum_{k=1}^{n} (-1)^{k+1}k$.

Первая сумма: $\sum_{k=1}^{n} (-1)^{k+1}k^2 = 1^2 - 2^2 + 3^2 - ... + (-1)^{n+1}n^2$. Эта сумма равна $-\sum_{k=1}^{n} (-1)^{k}k^2$, что является суммой из пункта б) с противоположным знаком. Из пункта б) мы знаем, что $\sum_{k=1}^{n} (-1)^k k^2 = (-1)^n \frac{n(n+1)}{2}$. Значит, первая сумма равна $-(-1)^n \frac{n(n+1)}{2} = (-1)^{n+1} \frac{n(n+1)}{2}$.

Вторая сумма: $\sum_{k=1}^{n} (-1)^{k+1}k = 1 - 2 + 3 - ... + (-1)^{n+1}n$. Это в точности сумма из пункта а). Из пункта а) мы знаем, что эта сумма равна $S_{a,n} = \begin{cases} -n/2, & \text{если n четное} \\ (n+1)/2, & \text{если n нечетное} \end{cases}$. Эту зависимость можно выразить через функцию "округление вверх": $S_{a,n} = (-1)^{n+1} \lceil \frac{n}{2} \rceil$.

Складываем обе части:

$S_n = (-1)^{n+1} \frac{n(n+1)}{2} + (-1)^{n+1} \lceil \frac{n}{2} \rceil = (-1)^{n+1} \left( \frac{n(n+1)}{2} + \lceil \frac{n}{2} \rceil \right)$.

Можно также представить ответ в зависимости от четности $n$:

1. Если $n$ четное: $S_n = (-1)^{n+1} \left( \frac{n(n+1)}{2} + \frac{n}{2} \right) = -1 \left( \frac{n^2+n+n}{2} \right) = -\frac{n^2+2n}{2} = -\frac{n(n+2)}{2}$.

2. Если $n$ нечетное: $S_n = (-1)^{n+1} \left( \frac{n(n+1)}{2} + \frac{n+1}{2} \right) = 1 \left( \frac{(n+1)(n+1)}{2} \right) = \frac{(n+1)^2}{2}$.

Ответ: $S_n = \begin{cases} -n(n+2)/2, & \text{если n четное} \\ (n+1)^2/2, & \text{если n нечетное} \end{cases}$

Докажите, что при любом натуральном значении n выполняется равенство:

6.4. a) $1 + 2 + 3 + \dots + n = \frac{n(n + 1)}{2}$

б) $1 + 4 + 7 + \dots + (3n - 2) = \frac{n(3n - 1)}{2}$

в) $5 + 6 + 7 + \dots + (n + 4) = \frac{n(n + 9)}{2}$

г) $1,6 + 3,1 + 4,6 + \dots + (1,5n + 0,1) = \frac{n(3n + 3,4)}{4}$

а) Левая часть равенства представляет собой сумму первых $n$ членов арифметической прогрессии. В этой прогрессии первый член $a_1 = 1$, $n$-й член $a_n = n$, а количество членов равно $n$.
Сумма $n$ членов арифметической прогрессии вычисляется по формуле: $S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n$.
Подставим в формулу значения $a_1$ и $a_n$:
$S_n = \frac{1 + n}{2} \cdot n = \frac{n(n + 1)}{2}$.
Полученное выражение совпадает с правой частью исходного равенства.
Ответ: Доказано.

б) Левая часть равенства представляет собой сумму членов арифметической прогрессии.
Первый член этой прогрессии $a_1 = 1$. Разность прогрессии $d = 4 - 1 = 3$.
Общий член прогрессии имеет вид $a_k = a_1 + (k-1)d = 1 + (k-1)3 = 1 + 3k - 3 = 3k - 2$.
Последний член в сумме равен $3n - 2$. Из формулы общего члена видно, что это $n$-й член прогрессии, т.е. $a_n = 3n - 2$, и в сумме ровно $n$ членов.
Воспользуемся формулой суммы $n$ членов арифметической прогрессии: $S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n$.
Подставим наши значения:
$S_n = \frac{1 + (3n - 2)}{2} \cdot n = \frac{3n - 1}{2} \cdot n = \frac{n(3n - 1)}{2}$.
Полученное выражение совпадает с правой частью исходного равенства.
Ответ: Доказано.

в) Сумма $5 + 6 + 7 + ... + (n + 4)$ является суммой членов арифметической прогрессии.
Первый член прогрессии $a_1 = 5$, а разность $d = 6 - 5 = 1$.
Найдем количество членов в этой прогрессии. Формула $k$-го члена: $a_k = a_1 + (k-1)d = 5 + (k-1) \cdot 1 = k + 4$.
Последний член равен $n + 4$. Приравняем его к формуле $k$-го члена, чтобы найти количество членов, которое мы обозначим как $m$: $m + 4 = n + 4$, откуда следует, что $m=n$. Значит, в сумме $n$ членов.
Таким образом, первый член $a_1 = 5$, $n$-й член $a_n = n + 4$, и количество членов равно $n$.
Применим формулу суммы: $S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n$.
$S_n = \frac{5 + (n + 4)}{2} \cdot n = \frac{n + 9}{2} \cdot n = \frac{n(n + 9)}{2}$.
Полученное выражение совпадает с правой частью исходного равенства.
Ответ: Доказано.

г) Сумма $1,6 + 3,1 + 4,6 + ... + (1,5n + 0,1)$ является суммой членов арифметической прогрессии.
Первый член $a_1 = 1,6$.
Разность прогрессии $d = 3,1 - 1,6 = 1,5$.
Формула $k$-го члена прогрессии: $a_k = a_1 + (k-1)d = 1,6 + (k-1) \cdot 1,5 = 1,6 + 1,5k - 1,5 = 1,5k + 0,1$.
Последний член суммы равен $1,5n + 0,1$. Сравнивая с формулой $k$-го члена, видим, что это $n$-й член прогрессии, $a_n = 1,5n + 0,1$. Значит, в сумме $n$ членов.
Воспользуемся формулой суммы арифметической прогрессии: $S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n$.
Подставим наши значения:
$S_n = \frac{1,6 + (1,5n + 0,1)}{2} \cdot n = \frac{1,5n + 1,7}{2} \cdot n = \frac{n(1,5n + 1,7)}{2}$.
Чтобы привести полученное выражение к виду в правой части равенства, умножим числитель и знаменатель на 2:
$S_n = \frac{2 \cdot n(1,5n + 1,7)}{2 \cdot 2} = \frac{n(2 \cdot 1,5n + 2 \cdot 1,7)}{4} = \frac{n(3n + 3,4)}{4}$.
Полученное выражение совпадает с правой частью исходного равенства.
Ответ: Доказано.

6.5. а) $1 + 2 + 4 + 8 + \dots + 2^{n-1} = 2^n - 1;$

б) $1 + \frac{1}{3} + \frac{1}{9} + \dots + \frac{1}{3^n} = 1,5 - \frac{1,5}{3^n};$

в) $3 - 9 + 27 - 81 + \dots + (-3)^n = \frac{3}{4}(1 - (-3)^n);$

г) $1 + 0,1 + 0,01 + \dots + 0,000\dots01$

n - 1 нуль после запятой

$= 1,(1) \cdot (1 - 0,000\dots01)$

n нулей после запятой

а) Данное выражение представляет собой сумму членов геометрической прогрессии. Для этой прогрессии первый член $b_1 = 1$, а знаменатель $q = 2/1 = 2$. Ряд $1 + 2 + 4 + \dots + 2^{n-1}$ можно записать как $2^0 + 2^1 + 2^2 + \dots + 2^{n-1}$, что означает, что он содержит $n$ членов.

Для нахождения суммы первых n членов геометрической прогрессии используется формула $S_n = b_1 \frac{q^n - 1}{q - 1}$.

Подставляя значения $b_1=1$, $q=2$ и число членов $n$, получаем:

$S_n = 1 \cdot \frac{2^n - 1}{2 - 1} = \frac{2^n - 1}{1} = 2^n - 1$.

Полученный результат полностью совпадает с правой частью исходного равенства, что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство доказано.

б) Левая часть равенства является суммой членов геометрической прогрессии, у которой первый член $b_1 = 1$ и знаменатель $q = \frac{1/3}{1} = \frac{1}{3}$. Общий вид члена прогрессии: $b_k = (1/3)^{k-1}$. Если последний член, как указано, $\frac{1}{3^n}$, то это $(n+1)$-й член прогрессии. Сумма $n+1$ членов равна $S_{n+1} = 1 \cdot \frac{1 - (1/3)^{n+1}}{1-1/3} = \frac{3}{2}(1 - \frac{1}{3^{n+1}}) = 1,5 - \frac{1,5}{3^{n+1}} = 1,5 - \frac{0,5}{3^n}$, что не соответствует правой части равенства. Вероятнее всего, в условии допущена опечатка, и имелась в виду сумма n членов, то есть $1 + \frac{1}{3} + \dots + \frac{1}{3^{n-1}}$. В этом случае равенство будет верным.

Докажем тождество для суммы n членов. Используем формулу $S_n = b_1 \frac{1 - q^n}{1 - q}$:

$S_n = 1 \cdot \frac{1 - (1/3)^n}{1 - 1/3} = \frac{1 - 1/3^n}{2/3} = \frac{3}{2} \cdot (1 - \frac{1}{3^n}) = 1,5 \cdot (1 - \frac{1}{3^n}) = 1,5 - \frac{1,5}{3^n}$.

Этот результат совпадает с правой частью исходного выражения.

Ответ: Равенство доказано в предположении, что сумма состоит из $n$ слагаемых.

в) Данное выражение — это сумма членов знакочередующейся геометрической прогрессии. Первый член $b_1 = 3$, а знаменатель $q = -9/3 = -3$. Общий член этой прогрессии имеет вид $b_k = 3 \cdot (-3)^{k-1}$. Указанный в условии последний член $(-3)^n$ не соответствует общему виду члена $b_k$ ни для какого целого k. Скорее всего, здесь также имеется опечатка, и подразумевалась сумма n членов, где последний член $b_n = 3 \cdot (-3)^{n-1}$. При таком условии равенство становится верным.

Проверим это, вычислив сумму n членов по формуле $S_n = b_1 \frac{1 - q^n}{1 - q}$:

$S_n = 3 \cdot \frac{1 - (-3)^n}{1 - (-3)} = 3 \cdot \frac{1 - (-3)^n}{1 + 3} = 3 \cdot \frac{1 - (-3)^n}{4} = \frac{3}{4}(1 - (-3)^n)$.

Результат в точности совпадает с правой частью данного равенства.

Ответ: Равенство доказано в предположении, что сумма состоит из $n$ слагаемых.

г) Для доказательства данного тождества проанализируем его левую и правую части по отдельности.

Левая часть (ЛЧ): $1 + 0,1 + 0,01 + \dots + \underbrace{0,000\dots01}_{n-1 \text{ нуль после запятой}}$.

Эта сумма представляет собой геометрическую прогрессию. Запишем её члены в виде степеней: $10^0 + 10^{-1} + 10^{-2} + \dots + 10^{-n}$. Член $\underbrace{0,00\dots01}_{n-1 \text{ нуль}}$ соответствует $10^{-n}$.

Параметры прогрессии: первый член $b_1 = 1$, знаменатель $q = 0,1$. Количество членов в сумме (от 0-й до n-й степени) равно $n+1$.

Сумма $S_{n+1}$ вычисляется по формуле: $S_{n+1} = b_1 \frac{1 - q^{n+1}}{1 - q} = 1 \cdot \frac{1 - (0,1)^{n+1}}{1 - 0,1} = \frac{1 - (0,1)^{n+1}}{0,9} = \frac{10}{9}(1 - (0,1)^{n+1})$.

Правая часть (ПЧ): $1,(1) \cdot (1 - \underbrace{0,000\dots01}_{n \text{ нулей после запятой}})$.

Преобразуем множители. Периодическая дробь $1,(1)$ равна $\frac{10}{9}$. Это можно показать, представив ее как сумму бесконечной геометрической прогрессии $1 + 0,1 + 0,01 + \dots$ с $b_1=1$ и $q=0,1$: $S = \frac{b_1}{1-q} = \frac{1}{1-0,1} = \frac{1}{0,9} = \frac{10}{9}$.

Число $\underbrace{0,00\dots01}_{n \text{ нулей}}$ равно $10^{-(n+1)}$ или $(0,1)^{n+1}$.

Следовательно, ПЧ $= \frac{10}{9} \cdot (1 - (0,1)^{n+1})$.

Сравнивая полученные выражения для ЛЧ и ПЧ, мы видим, что они равны. Таким образом, равенство доказано.

Ответ: Равенство доказано.

6.6. Докажите равенство (при каждом натуральном n):

а) $1^2 + 4^2 + 7^2 + \dots + (3n - 2)^2 = \frac{n(6n^2 - 3n - 1)}{2}$

б) $1^2 + 3^2 + 5^2 + \dots + (2n - 1)^2 = \frac{n(4n^2 - 1)}{3}$

в) $3^2 + 7^2 + 10^2 + \dots + (4n - 1)^2 = \frac{n(16n^2 + 12n - 1)}{3}$

г) $1^3 + 3^3 + 5^3 + \dots + (2n - 1)^3 = n^2(2n^2 - 1)$

Для доказательства всех равенств используется метод математической индукции.

а) Докажем равенство $1^2 + 4^2 + 7^2 + \dots + (3n - 2)^2 = \frac{n(6n^2 - 3n - 1)}{2}$.

1. База индукции. Проверим справедливость равенства для $n=1$.
Левая часть: $(3 \cdot 1 - 2)^2 = 1^2 = 1$.
Правая часть: $\frac{1(6 \cdot 1^2 - 3 \cdot 1 - 1)}{2} = \frac{1(6 - 3 - 1)}{2} = \frac{2}{2} = 1$.
Так как $1=1$, утверждение верно для $n=1$.

2. Индукционный переход. Предположим, что равенство верно для некоторого натурального $n=k$, где $k \ge 1$. То есть, $\sum_{i=1}^{k} (3i - 2)^2 = \frac{k(6k^2 - 3k - 1)}{2}$.

Докажем, что равенство верно и для $n=k+1$, то есть $\sum_{i=1}^{k+1} (3i - 2)^2 = \frac{(k+1)(6(k+1)^2 - 3(k+1) - 1)}{2}$.

Рассмотрим левую часть равенства для $n=k+1$:
$\sum_{i=1}^{k+1} (3i - 2)^2 = \left( \sum_{i=1}^{k} (3i - 2)^2 \right) + (3(k+1) - 2)^2$.

Используя индукционное предположение, заменяем сумму:
$\frac{k(6k^2 - 3k - 1)}{2} + (3k + 1)^2 = \frac{6k^3 - 3k^2 - k}{2} + 9k^2 + 6k + 1 = \frac{6k^3 - 3k^2 - k + 2(9k^2 + 6k + 1)}{2} = \frac{6k^3 - 3k^2 - k + 18k^2 + 12k + 2}{2} = \frac{6k^3 + 15k^2 + 11k + 2}{2}$.

Теперь преобразуем правую часть равенства для $n=k+1$:
$\frac{(k+1)(6(k+1)^2 - 3(k+1) - 1)}{2} = \frac{(k+1)(6(k^2+2k+1) - 3k - 3 - 1)}{2} = \frac{(k+1)(6k^2+12k+6 - 3k - 4)}{2} = \frac{(k+1)(6k^2+9k+2)}{2} = \frac{6k^3+9k^2+2k+6k^2+9k+2}{2} = \frac{6k^3+15k^2+11k+2}{2}$.

Левая и правая части совпали, следовательно, индукционный переход доказан. По принципу математической индукции, равенство верно для любого натурального $n$.

Ответ: Что и требовалось доказать.

б) Докажем равенство $1^2 + 3^2 + 5^2 + \dots + (2n - 1)^2 = \frac{n(4n^2 - 1)}{3}$.

1. База индукции. Проверим для $n=1$.
Левая часть: $(2 \cdot 1 - 1)^2 = 1^2 = 1$.
Правая часть: $\frac{1(4 \cdot 1^2 - 1)}{3} = \frac{1(4 - 1)}{3} = \frac{3}{3} = 1$.
Утверждение верно для $n=1$.

2. Индукционный переход. Предположим, что равенство верно для $n=k$: $\sum_{i=1}^{k} (2i - 1)^2 = \frac{k(4k^2 - 1)}{3}$.

Докажем, что оно верно для $n=k+1$: $\sum_{i=1}^{k+1} (2i - 1)^2 = \frac{(k+1)(4(k+1)^2 - 1)}{3}$.

Преобразуем левую часть:
$\sum_{i=1}^{k+1} (2i - 1)^2 = \left( \sum_{i=1}^{k} (2i - 1)^2 \right) + (2(k+1) - 1)^2 = \frac{k(4k^2 - 1)}{3} + (2k+1)^2 = \frac{4k^3 - k}{3} + 4k^2 + 4k + 1 = \frac{4k^3 - k + 3(4k^2 + 4k + 1)}{3} = \frac{4k^3 - k + 12k^2 + 12k + 3}{3} = \frac{4k^3 + 12k^2 + 11k + 3}{3}$.

Преобразуем правую часть:
$\frac{(k+1)(4(k+1)^2 - 1)}{3} = \frac{(k+1)(4(k^2+2k+1) - 1)}{3} = \frac{(k+1)(4k^2+8k+3)}{3} = \frac{4k^3+8k^2+3k+4k^2+8k+3}{3} = \frac{4k^3+12k^2+11k+3}{3}$.

Левая и правая части совпали, индукционный переход доказан. Равенство верно для любого натурального $n$.

Ответ: Что и требовалось доказать.

в) Докажем равенство $3^2 + 7^2 + 11^2 + \dots + (4n - 1)^2 = \frac{n(16n^2 + 12n - 1)}{3}$.

Примечание: В условии задачи, вероятно, опечатка. Третий член суммы $10^2$ не соответствует общей формуле члена $(4n-1)^2$, так как для $n=3$ член должен быть $(4 \cdot 3 - 1)^2 = 11^2$. Доказательство будет проведено для исправленной последовательности.

1. База индукции. Проверим для $n=1$.
Левая часть: $(4 \cdot 1 - 1)^2 = 3^2 = 9$.
Правая часть: $\frac{1(16 \cdot 1^2 + 12 \cdot 1 - 1)}{3} = \frac{16 + 12 - 1}{3} = \frac{27}{3} = 9$.
Утверждение верно для $n=1$.

2. Индукционный переход. Предположим, что равенство верно для $n=k$: $\sum_{i=1}^{k} (4i - 1)^2 = \frac{k(16k^2 + 12k - 1)}{3}$.

Докажем, что оно верно для $n=k+1$: $\sum_{i=1}^{k+1} (4i - 1)^2 = \frac{(k+1)(16(k+1)^2 + 12(k+1) - 1)}{3}$.

Преобразуем левую часть:
$\sum_{i=1}^{k+1} (4i - 1)^2 = \left( \sum_{i=1}^{k} (4i - 1)^2 \right) + (4(k+1) - 1)^2 = \frac{k(16k^2 + 12k - 1)}{3} + (4k+3)^2 = \frac{16k^3 + 12k^2 - k + 3(16k^2 + 24k + 9)}{3} = \frac{16k^3 + 12k^2 - k + 48k^2 + 72k + 27}{3} = \frac{16k^3 + 60k^2 + 71k + 27}{3}$.

Преобразуем правую часть:
$\frac{(k+1)(16(k+1)^2 + 12(k+1) - 1)}{3} = \frac{(k+1)(16(k^2+2k+1) + 12k+11)}{3} = \frac{(k+1)(16k^2+44k+27)}{3} = \frac{16k^3+44k^2+27k+16k^2+44k+27}{3} = \frac{16k^3+60k^2+71k+27}{3}$.

Левая и правая части совпали, индукционный переход доказан. Равенство верно для любого натурального $n$.

Ответ: Что и требовалось доказать.

г) Докажем равенство $1^3 + 3^3 + 5^3 + \dots + (2n - 1)^3 = n^2(2n^2 - 1)$.

1. База индукции. Проверим для $n=1$.
Левая часть: $(2 \cdot 1 - 1)^3 = 1^3 = 1$.
Правая часть: $1^2(2 \cdot 1^2 - 1) = 1(2-1) = 1$.
Утверждение верно для $n=1$.

2. Индукционный переход. Предположим, что равенство верно для $n=k$: $\sum_{i=1}^{k} (2i - 1)^3 = k^2(2k^2 - 1)$.

Докажем, что оно верно для $n=k+1$: $\sum_{i=1}^{k+1} (2i - 1)^3 = (k+1)^2(2(k+1)^2 - 1)$.

Преобразуем левую часть:
$\sum_{i=1}^{k+1} (2i - 1)^3 = \left( \sum_{i=1}^{k} (2i - 1)^3 \right) + (2(k+1) - 1)^3 = k^2(2k^2 - 1) + (2k+1)^3 = 2k^4 - k^2 + (8k^3 + 12k^2 + 6k + 1) = 2k^4 + 8k^3 + 11k^2 + 6k + 1$.

Преобразуем правую часть:
$(k+1)^2(2(k+1)^2 - 1) = (k^2+2k+1)(2(k^2+2k+1)-1) = (k^2+2k+1)(2k^2+4k+1) = k^2(2k^2+4k+1) + 2k(2k^2+4k+1) + 1(2k^2+4k+1) = (2k^4+4k^3+k^2) + (4k^3+8k^2+2k) + (2k^2+4k+1) = 2k^4 + 8k^3 + 11k^2 + 6k + 1$.

Левая и правая части совпали, индукционный переход доказан. Равенство верно для любого натурального $n$.

Ответ: Что и требовалось доказать.