Номер 6.2, страница 38, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

Вычислите сумму:

6.2. а) $7 + 8 + 9 + \dots + (n + 6);$

б) $2 + 11 + 20 + \dots + (9n - 7);$

в) $1.35 + 1.4 + 1.45 + \dots + (0.05n + 1.3);$

г) $0.\overline{3} + 0.\overline{5} + 0.\overline{7} + \dots + (0.\overline{2}n + 0.\overline{1}));$

а) 7 + 8 + 9 + ... + (n + 6)

Данная сумма представляет собой сумму членов арифметической прогрессии. Определим ее параметры.

Первый член прогрессии $a_1 = 7$.
Второй член $a_2 = 8$.
Разность прогрессии $d = a_2 - a_1 = 8 - 7 = 1$.

Общая формула для $k$-го члена арифметической прогрессии: $a_k = a_1 + (k-1)d$.
Для данной прогрессии: $a_k = 7 + (k-1) \cdot 1 = 7 + k - 1 = k + 6$.

Последний член суммы задан выражением $(n + 6)$. Чтобы найти количество членов в сумме, приравняем формулу $k$-го члена к последнему члену: $k + 6 = n + 6$, откуда $k=n$. Это означает, что в сумме ровно $n$ слагаемых, а последний член является $n$-м членом прогрессии: $a_n = n+6$.

Для вычисления суммы $S_n$ первых $n$ членов арифметической прогрессии используется формула:

$S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n$

Подставим в формулу значения $a_1 = 7$ и $a_n = n+6$:

$S_n = \frac{7 + (n + 6)}{2} \cdot n = \frac{n + 13}{2} \cdot n = \frac{n(n + 13)}{2}$

Ответ: $ \frac{n(n + 13)}{2} $

б) 2 + 11 + 20 + ... + (9n - 7)

Это сумма членов арифметической прогрессии.

Первый член $a_1 = 2$.
Второй член $a_2 = 11$.
Разность прогрессии $d = a_2 - a_1 = 11 - 2 = 9$.

Проверим формулу для $n$-го члена. Общая формула $k$-го члена: $a_k = a_1 + (k-1)d$.
$a_k = 2 + (k-1) \cdot 9 = 2 + 9k - 9 = 9k - 7$.
При $k=n$ получаем $a_n = 9n - 7$, что совпадает с последним членом в заданной сумме. Следовательно, в сумме ровно $n$ членов.

Воспользуемся формулой суммы арифметической прогрессии:

$S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n$

Подставим известные значения $a_1=2$ и $a_n=9n-7$:

$S_n = \frac{2 + (9n - 7)}{2} \cdot n = \frac{9n - 5}{2} \cdot n = \frac{n(9n - 5)}{2}$

Ответ: $ \frac{n(9n - 5)}{2} $

в) 1,35 + 1,4 + 1,45 + ... + (0,05n + 1,3)

Данная сумма является суммой членов арифметической прогрессии.

Первый член $a_1 = 1,35$.
Второй член $a_2 = 1,4$.
Разность прогрессии $d = a_2 - a_1 = 1,4 - 1,35 = 0,05$.

Формула для $k$-го члена этой прогрессии: $a_k = a_1 + (k-1)d = 1,35 + (k-1) \cdot 0,05 = 1,35 + 0,05k - 0,05 = 0,05k + 1,3$.
При $k=n$ получаем $a_n = 0,05n + 1,3$, что соответствует последнему члену суммы. Значит, в сумме $n$ членов.

Вычислим сумму по формуле $S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n$:

$S_n = \frac{1,35 + (0,05n + 1,3)}{2} \cdot n = \frac{0,05n + 2,65}{2} \cdot n = \frac{n(0,05n + 2,65)}{2}$

Это выражение можно упростить, представив десятичные дроби в виде обыкновенных:

$S_n = \frac{n(\frac{5}{100}n + \frac{265}{100})}{2} = \frac{n(\frac{1}{20}n + \frac{53}{20})}{2} = \frac{n \cdot \frac{n+53}{20}}{2} = \frac{n(n+53)}{40}$

Ответ: $ \frac{n(0,05n + 2,65)}{2} $ или $ \frac{n(n+53)}{40} $

г) 0,(3) + 0,(5) + 0,(7) + ... + (0,(2)n + 0,(1))

Сначала преобразуем периодические десятичные дроби в обыкновенные:

$0,(3) = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}$; $0,(5) = \frac{5}{9}$; $0,(7) = \frac{7}{9}$; $0,(2) = \frac{2}{9}$; $0,(1) = \frac{1}{9}$.

Тогда сумма принимает вид (приведем первый член к знаменателю 9):

$\frac{3}{9} + \frac{5}{9} + \frac{7}{9} + ... + (\frac{2}{9}n + \frac{1}{9})$

Это арифметическая прогрессия. Найдем ее параметры.

Первый член $a_1 = \frac{3}{9}$.
Разность прогрессии $d = a_2 - a_1 = \frac{5}{9} - \frac{3}{9} = \frac{2}{9}$.

Проверим формулу $k$-го члена: $a_k = a_1 + (k-1)d = \frac{3}{9} + (k-1)\frac{2}{9} = \frac{3 + 2k - 2}{9} = \frac{2k+1}{9}$.

Последний член суммы равен $(\frac{2}{9}n + \frac{1}{9}) = \frac{2n+1}{9}$. При $k=n$ формула дает $a_n = \frac{2n+1}{9}$, что совпадает с заданным последним членом. Следовательно, в сумме $n$ членов.

Вычислим сумму по формуле $S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n$:

$S_n = \frac{\frac{3}{9} + \frac{2n+1}{9}}{2} \cdot n = \frac{\frac{3+2n+1}{9}}{2} \cdot n = \frac{\frac{2n+4}{9}}{2} \cdot n$

$S_n = \frac{2n+4}{18} \cdot n = \frac{2(n+2)}{18} \cdot n = \frac{n(n+2)}{9}$

Ответ: $ \frac{n(n+2)}{9} $